Question

已知二次函数y=-x²+2x+m的图象与x轴相交于A、B两点（A左B右），与y轴相交于点C，顶点为D．
（1）求m的取值范围；
（2）当点A的坐标为（-3，0），求点B的坐标；
（3）当BC⊥CD时，求m的值．

Answer 1

解：（1）∵二次函数y=-x²+2x+m的图象与x轴相交于A、B两点
∴b²-4ac＞0，
∴4+4m＞0，
解得：m＞-1；

（2）把x=-3，y=0代入y=-x²+2x+m中得m=15，
∴二次函数的表达式为y=-x²+2x+15，
令y=0得-x²+2x+15=0，
解得x₁=-3，x₂=5，
∴点B的坐标为（5，0）；

（3）如图，过D作DE⊥y轴，垂足为E，
∴∠DEC=∠COB=90°，
当BC⊥CD时，∠DCE+∠BCO=90°，
∵∠DEC=90°，
∴∠DCE+∠EDC=90°，
∴∠EDC=∠BCO，
∴△DEC∽△COB，
∴=，
由题意得：OE=m+1，OC=m，DE=1，
∴EC=（m+1）-m=1，
∴=，
∴OB=m，
∴B的坐标为（m，0），
将（m，0）代入y=-x²+2x+m得：-m²+2m+m=0．
解得：m₁=0（舍去），m₂=3．
∴m的值是3．
分析：（1）因为二次函数y=-x²+2x+m的图象与x轴相交于A、B两点，所以b²-4ac＞0，进而求出m的取值范围；
（2）把点A的坐标为（-3，0），代入二次函数y=-x²+2x+m，求出m的值，再解方程从而求出点B的坐标；
（3）当BC⊥CD时，过D作DE⊥y轴，证明△DEC∽△COB，得比例式，进而求出m的值．
点评：本题是二次函数综合题，主要考查函数的性质和坐标，与三角形相似的性质，探究一些存在性问题，难度较大，灵活运用函数性质来解题，考查知识点全面．