Question

16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O是边AC上一点，以OA为半径作圆O与边AB相交于点D．

（1）如图1，当圆O过点C时，取BC边中点E，连接DE，求证：DE是圆O的切线；
（2）如图2，圆O与边AC相交于点F，若AO=OF=FC，AD=BD，求∠BAC的正切值；
（3）如图3，若$\frac{AD}{DB}$=$\frac{4}{5}$，AC=$\sqrt{2}$AD，求$\frac{AO}{OC}$的值．

Answer 1

分析 （1）首先证明ED=EC，推出∠EDC=∠ECD，由OD=OC，推出∠OCD=∠ODC，由∠OCD+∠ECD=90°，推出∠ODC+∠EDC=90°即可解决问题；
（2）如图2中，连接DF、BF．只要证明DF垂直平分线段AB，可得BF=AF=2OF，推出∠CFB=60°即可解决问题；
（3）如图3中，延长GC交⊙O于F，连接DF、OG．由OC⊥FG，推出CF=CG，设CF=CG=x，BG=y，AD=4k，BD=5k，AC=4$\sqrt{2}$k，构建方程组，求出x、y即可，再在Rt△
OCG中，设OA=OG=m，利用勾股定理列出方程即可解决问题；

解答 解：（1）如图1中，连接OD、CD．

∵AC是直径，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∵CE=EB，
∴DE=EC=EB，
∴∠EDC=∠ECD，
∵OC=OD，
∴∠OC=∠ODC，
∵∠OCD+∠DCB=∠ACB=90°，
∴∠ODC+∠EDC=90°，
∴∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．

（2）如图2中，连接DF、BF．

∵AF是直径，
∴∠ADF=90°，
∴FD⊥AB，
∵AD=BD，
∴FA=FB，
∵OA=OF=FC，
∴BF=2FC，
在Rt△BCF中，cos∠CFB=$\frac{CF}{BF}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠CFB=60°，
∵FA=FB，
∴∠FAB=∠FBA，
∵∠CFB=∠FAB+∠FBA=60°，
∴∠FAB=∠FBA=30°，
∴tan∠BAC=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

（3）如图3中，延长GC交⊙O于F，连接DF、OG．

∵OC⊥FG，
∴CF=CG，设CF=CG=x，BG=y，AD=4k，BD=5k，AC=4$\sqrt{2}$k，
在Rt△ACB中，∵AC²+BC²=AB²，
∴32k²+（x+y）²=81k²   ①，
由△BDF∽△BGA，可得BD•BA=BG•BF，
∴45k²=y（y+2x）    ②
由①②可得：x=2k，y=5k，设OA=OG=m，
在Rt△OCG中，∵OG²=OC²+CG²，
∴m²=（4$\sqrt{2}$k-m）²+（2k）²，
∴m=$\frac{9\sqrt{2}}{4}$k，
∴OA=$\frac{9\sqrt{2}}{4}$k，OC=$\frac{7\sqrt{2}}{4}$k，
∴$\frac{OA}{OC}$=$\frac{\frac{9\sqrt{2}}{4}k}{\frac{7\sqrt{2}}{4}k}$=$\frac{9}{7}$．

点评 本题考查圆综合题、切线的判定、勾股定理、相似三角形的判定和性质、二元二次方程组等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型．