【题目】如图,△ABC中,点D、E分别是边BC、AC的中点,过点A作AF∥BC交线段DE的延长线相交于F点,取AF的中点G,如果BC=2AB.
求证 :(1)四边形ABDF是菱形;
(2)AC=2DG.
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.
【解析】
(1)首先根据三角形的中位线定理,得DE∥AB,结合AF∥BC,根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形,可以判断该四边形是平行四边形,再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明;
(2)根据菱形的性质可以进一步得到△FGD≌△FEA,则GD=AE,即可证明结论.
证明:(1)∵点D、E分别是边BC、AC的中点,
∴DE是△ABC的中位线(三角形中位线的定义),
∴DE∥AB,DE=AB(三角形中位线性质).
∵AF∥BC,
∴四边形ABDF是平行四边形(平行四边形定义).
∵BC=2AB,BC=2BD,
∴AB=BD.
∴四边形ABDF是菱形.
(2)∵四边形ABDF是菱形,
∴AF=AB=DF(菱形的四条边都相等).
∵DE=AB,
∴EF=AF.
∵G是AF的中点.
∴GF=AF,
∴GF=EF.
∴△FGD≌△FEA,
∴GD=AE,
∵AC=2EC=2AE,
∴AC=2DG.
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【题目】评价组对某区九年级教师的试卷讲评课的学生参与度进行评价调查,其评价项目为主动质疑、独立思考、专注听讲、讲解题目四项.评价组随机抽取了若干名同学的参与情况,绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图(均不完整),请根据图中所给信息解答下列问题:
(1)在这次评价中,一共抽查了 名同学;
(2)请将条形统计图补充完整;
(3)如果全区有6000名九年级学生,那么在试卷评讲课中,“独立思考”的约有多少人?
(4)根据统计反映的情况,请你对该区的九年级同学提出一条对待试卷讲评课的建议.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC=30°,BC=2,点D是AC边的中点,E是直线BC上一动点,将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF,连接AF、EF,在点E的运动过程中线段AF的最小值为_____.
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【题目】如图,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于 A、B两点,与y轴交于点C,OB=OC.点D在函数图象上,CD∥x轴,且CD=2,直线l是抛物线的对称轴,E是抛物线的顶点.
(1)求b、c的值;
(2)如图①,连接BE,线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上,求点F的坐标;
(3)如图②,动点P在线段OB上,过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M,与抛物线交于点N.试问:抛物线上是否存在点Q,使得△PQN与△APM的面积相等,且线段NQ的长度最小?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,说明理由.
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【题目】如图,已知Rt△ABC,AC=8,AB=4,以点B为圆心作圆,当⊙B与线段AC只有一个交点时,则⊙B的半径的取值范围是( )
A.rB =B.4 < rB ≤
C.rB = 或4 < rB ≤D.rB为任意实数
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【题目】如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于O,EF过点O与AD,BC分别交于E,F,若AB=4,BC=5,OE=1.5,则四边形EFCD的周长_____.
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【题目】如图,已知抛物线分别交x轴、y轴于点A(2,0)、B(0,4),点P是线段AB上一动点,过点P作PC⊥x轴于点C,交抛物线于点D.
(1)若.
①求抛物线的解析式;
②当线段PD的长度最大时,求点P的坐标;
(2)当点P的横坐标为1时,是否存在这样的抛物线,使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似?若存在,求出满足条件的抛物线的解析式;若不存在,请说明理由.
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【题目】在正方形 ABCD 中,M 是 BC 边上一点,且点 M 不与 B、C 重合,点 P 在射线 AM 上,将线段 AP 绕点 A 顺时针旋转 90°得到线段 AQ,连接BP,DQ.
(1)依题意补全图 1;
(2)①连接 DP,若点 P,Q,D 恰好在同一条直线上,求证:DP2+DQ2=2AB2;
②若点 P,Q,C 恰好在同一条直线上,则 BP 与 AB 的数量关系为: .
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【题目】数学小组的同学为了解“阅读经典”活动的开展情况,随机调查了50名同学,对他们一周的阅读时间进行了统计,并绘制成如图所示的条形统计图,这组数据的中位数和众数分别是( )
A.中位数和众数都是8小时B.中位数是25人,众数是20人
C.中位数是13人,众数是20人D.中位数是6小时,众数是8小时
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