【题目】在正方形 ABCD 中,M 是 BC 边上一点,且点 M 不与 B、C 重合,点 P 在射线 AM 上,将线段 AP 绕点 A 顺时针旋转 90°得到线段 AQ,连接BP,DQ.
(1)依题意补全图 1;
(2)①连接 DP,若点 P,Q,D 恰好在同一条直线上,求证:DP2+DQ2=2AB2;
②若点 P,Q,C 恰好在同一条直线上,则 BP 与 AB 的数量关系为: .
【答案】(1)详见解析;(2)①详见解析;②BP=AB.
【解析】
(1)根据要求画出图形即可;
(2)①连接BD,如图2,只要证明△ADQ≌△ABP,∠DPB=90°即可解决问题;
②结论:BP=AB,如图3中,连接AC,延长CD到N,使得DN=CD,连接AN,QN.由△ADQ≌△ABP,△ANQ≌△ACP,推出DQ=PB,∠AQN=∠APC=45°,由∠AQP=45°,推出∠NQC=90°,由CD=DN,可得DQ=CD=DN=AB;
(1)解:补全图形如图 1:
(2)①证明:连接 BD,如图 2,
∵线段 AP 绕点 A 顺时针旋转 90°得到线段 AQ,
∴AQ=AP,∠QAP=90°,
∵四边形 ABCD 是正方形,
∴AD=AB,∠DAB=90°,
∴∠1=∠2.
∴△ADQ≌△ABP,
∴DQ=BP,∠Q=∠3,
∵在 Rt△QAP 中,∠Q+∠QPA=90°,
∴∠BPD=∠3+∠QPA=90°,
∵在 Rt△BPD 中,DP2+BP2=BD2, 又∵DQ=BP,BD2=2AB2,
∴DP2+DQ2=2AB2.
②解:结论:BP=AB.
理由:如图 3 中,连接 AC,延长 CD 到 N,使得 DN=CD,连接 AN,QN.
∵△ADQ≌△ABP,△ANQ≌△ACP,
∴DQ=PB,∠AQN=∠APC=45°,
∵∠AQP=45°,
∴∠NQC=90°,
∵CD=DN,
∴DQ=CD=DN=AB,
∴PB=AB.
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【题目】如图,△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4)
(1)若△A1B1C1与△ABC关于y轴成轴对称,写出△A1B1C1三个顶点坐标:A1= ;B1= ;C1= ;
(2)画出△A1B1C1,并求△A1B1C1面积.
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【题目】平面直角坐标系中,A(0,3),B(4,0),C(﹣1,﹣1),点 P 线段 AB上一动点,将线段 AB 绕原点 O 旋转一周,点 P 的对应点为 P′,则 P′C 的最大值为_____,最小值为_____.
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【题目】如图,平分,是边上一点,以点为圆心,大于点到的距离为半径作弧,交于点、,再分别以点、为圆心,大于的长为半径作弧,两弧交于点,作直线分别交、于点、,若,,则__________.
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【题目】近年来网约车十分流行,初三某班学生对“美团”和“滴滴”两家网约车公司各10名司机月收入进行了一项抽样调查,司机月收入(单位:千元)如图所示:
根据以上信息,整理分析数据如下:
平均月收入/千元 | 中位数/千元 | 众数/千元 | 方差/千元2 | |
“美团” | ① | 6 | 6 | 1.2 |
“滴滴” | 6 | ② | 4 | ③ |
(1)完成表格填空;
(2)若从两家公司中选择一家做网约车司机,你会选哪家公司,并说明理由.
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【题目】如图,已知中,延长边上的中线到,使,延长边上的中线到,使,连接.
(1)补全图形;
(2)的大小关系如何?证明你的结论;
(3)三点的位置关系如何?证明你的结论.
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【题目】已知m,n(m<n)是关于x的方程(x–a)(x–b)=2的两根,若a<b,则下列判断正确的是
A. a<m<b<n B. m<a<n<b
C. a<m<n<d D. m<a<b<n
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【题目】如图,△ABC中,AB=AC,∠A=108°.
(1)实践与操作:作AB的垂直平分线DE,与AB,BC分别交于点D,E(用尺规作图.保留作图痕迹,不要求写作法)
(2)推理与计算:求∠AEC的度数.
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