Question

如图，在平面直角坐标系中，以M（0，2）圆心，4为半径的⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，连结BM并延长交⊙M于点P，连结PC交x轴于点E．
（1）求∠DMP的度数；
（2）求△BPE的面积．

Answer 1

考点：圆周角定理,坐标与图形性质,解直角三角形

专题：计算题

分析：（1）由M点坐标得OM=2，在Rt△OBM中由于OM=

1

2

BM，根据含30度的直角三角形三边的关系得∠OBM=30°，利用互余得∠BOM=60°，则根据对顶角相等即可得到∠DMP=∠BMO=60°；
（2）连结PA，如图，根据圆周角定理得∠BPP=90°，在Rt△PBA中，根据含30度的直角三角形三边的关系可计算出PA=

1

2

PB=4，AB=

3

PA=4

3

，再根据垂径定理，由OM⊥AB得到

AC

=

BC

，根据圆周角定理得∠APC=

1

2

∠BOC=30°，在Rt△PAE中计算出AE=

3

3

PA=

4 3

3

，则BE=AB-AE=

8 3

3

，然后根据三角形面积公式求解．

解答：解：（1）∵M（0，2），
∴OM=2，
在Rt△OBM中，∵MB=4，OM=2，
∴OM=

1

2

BM，
∴∠OBM=30°，
∴∠BOM=60°，
∴∠DMP=∠BMO=60°；
（2）连结PA，如图，
∵PB为直径，
∴∠BPP=90°，
在Rt△PBA中，
∵∠ABP=30°，PB=8，
∴PA=

1

2

PB=4，AB=

3

PA=4

3

，
∵OM⊥AB，
∴

AC

=

BC

，
∴∠APC=

1

2

∠BOC=30°，
在Rt△PAE中，∵∠APE=30°，PA=4，
∴AE=

3

3

PA=

4 3

3

∴BE=AB-AE=4

3

-

4 3

3

=

8 3

3

，
∴△BPE的面积=

1

2

×4×

8 3

3

=

16 3

3

．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．