Question

6．如图，在?ABCD中，AD⊥BD，点E、F分别在AB、BD上且满足AD=AE=DF，连接DE、AF、EF．
（1）若∠CDB=30°，求∠EAF的度数；
（2）若DE⊥EF，求证：DE=2EF．

Answer 1

分析 （1）利用平行线的性质以及等腰直角三角形的性质进而得出∠EAF的度数；
（2）首先过点A作AG⊥DE于点G，再利用全等三角形的判定与性质得出△FED≌△DGA，即可得出DG=EG=EF即可得出答案．

解答 解：（1）∵在?ABCD中，CD∥AB，
∴∠CDB=∠ABD=30°，
∵∠ADB=90°，
∴∠DAB=60°，
∵AD=DF，∠ADF=90°，
∴∠DAF=∠DFA=45°，
∴∠EAF=60°-45°=15°；

（2）证明：过点A作AG⊥DE于点G，
∵∠FDE+∠ADE=90°，∠DAG+∠ADG=90°，
∴∠FDE=∠DAG，
在△FED和△DGA中
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠FED=∠DGA}\\{∠EDF=∠DAG}\\{DF=AD}\end{array}\right.$，
∴△FED≌△DGA（AAS），
∴DG=EF，
∵AD=AE，AG⊥DE，
∴DG=GE，
∴DG=EG=EF，
∴ED=2EF．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，得出△FED≌△DGA是解题关键．