Question

如图，已知直线y=-

3

x+2

3

交x轴于点A，交y轴于点B，过B点的直线y=x+n交x轴于点C．
（1）求C点的坐标；
（2）若将△OBC沿y轴翻折，C点落在x轴上的D点，过D作DE⊥BA垂足为E，过C作CF⊥BA垂足为F，交BO于G，试说明AE与FG的数量关系；
（3）以A点为圆心，以AB为半径作⊙A交x轴负半轴于点H，交x轴正半轴于点P，BA的延长线交⊙A于M，在

PM

上存在任一点Q，连接MQ并延长交x轴于点N，连接HQ交BM于S，现有两个结论 ①AN+AS的值不变； ②AN-AS的值不变，其中只有一个正确，请选择正确的结论进行证明，并求其值．

Answer 1

分析：（1）根据直线交点求出B点坐标，再利用y=x+n求出C点坐标．
（2）先证明△BDE≌△CBF，得出DE=BF，再由△ADE相似于△GBF，得出△ADE≌△GBF，从而知道AE=FG．
（3）连接MP，证明△HAS≌△MPN即可．

解答：解：（1）∵直线y=-

3

x+2

3

交x轴于点A，交y轴于点B
令x=0，得y=2

3

令y=0，得x=2
故A（2，0）、B（0，2

3

）；
又过B点的直线y=x+n交x轴于点C，
将B点坐标代入直线y=x+n，得n=2

3

，
所以BC所在的直线方程为y=x+2

3

，
令y=0，得x=-2

3

，
故C点的坐标为C(-2

3

，0)．

（2）AE=FG
由题意知：BC=BD，∠BFC=∠BED=90°，∠BCF=∠DBE
∴△BDE≌△CBF
∴DE=BF
又∠DFA=∠BFG=90°，∠GBF=∠ADE
∴△ADE≌△GBF
∴AE=FG．

（3）正确的结论②AN-AS=4．
连接MP
∵A（2，0）、B（0，2

3

）
∴∠BAO=60°，圆的半径为4
所以∠PAM=60°
因此△MAP为等边三角形．
∵∠PMN=∠AHS，MP=AH，∠HAS=∠MPN=120°
∴△HAS≌△MPN
所以AS=PN
所以AN-AS=AN-PN=AP=4．
即②正确，值不变，为4．

点评：本题主要考查了圆形的性质，全等三角形的判定和性质以及一次函数的综合应用，关键的是对三角形全等的证明．