Question

11．在锐角△ABC中，AD是BC边上的高，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F是垂足，求证：E、B、C、F四点共圆．

Answer 1

分析 首先证明点AEDF四点共圆，从而可得到∠EAD=∠EFD，然后证明∠ADF=∠C，从而得到∠BEF+∠C=180°，从而可证四点共圆．

解答 解：如图所示：以AD为直径作圆，并连接EF．

∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°．
∴∠AED+∠AFD=180°．
∴A、E、D、F四点共圆．
∴∠AEF=∠ADF．
又∵∠DAF+∠ADF=90°，∠C+∠DAC=90°，
∴∠C=∠ADF．
∴∠C=∠AEF．
∵∠AEF+∠BEF=180°，
∴∠C+∠BEF=180°．
∴B、E、F、D四点共圆．

点评 本题主要考查的是四边共圆的条件和圆周角定理的应用，利用圆周角定理进行角的转化得到∠C=∠AEF是解题的关键．