Question

2．如图，在?ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，连接DE、BF、EF．
（1）写出图中所有的平行四边形（?ABCD除外）；
（2）若点M是BC边的中点，连接AM分别交DE、EF、BF于点P、Q、R，求AP：PQ：QR：RM．

Answer 1

分析 （1）利用平行四边形的性质，得到对边平行且相等，根据平行四边形的判定方法，一组对边平行且相等求出结果；
（2）根据平行四边形的性质，得到对边平行，再利用平行线分线段成比例，得到各线段的比．

解答 解：（1）在?ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴DF=AE=CF=BE，
∴四边形AEFD，EBDF，EBFD是平行四边形，
∴图中所有的平行四边形是?AEFD，?EBCE，?EBFD共三个；

（2）由（1）证得四边形EBCF，AEFD是平行四边形，
∴EF=BC，EF∥BC，AD=EF，AD∥EF，
∴$\frac{QE}{BM}$=$\frac{AE}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
设QE=k，BM=2k，
则BC=EF=AD=4k，
∴PF=3k，
∴$\frac{MR}{RQ}$=$\frac{BM}{FQ}$=$\frac{2k}{3k}$=$\frac{2}{3}$，$\frac{EQ}{AD}$=$\frac{PQ}{AP}$=$\frac{k}{4k}$=$\frac{1}{4}$，
∴AP：PQ：QR：RM=4：1：3：2．

点评 本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是找准平行线，利用线段的中点．