Question

14．如图，已知?ABCD中，P是∠B、∠C的平分线上的交点，PM⊥BC于M，若BP=4+$\sqrt{2}$，CP=4-$\sqrt{2}$，求PM的长．

Answer 1

分析 由?ABCD中，P是∠B、∠C的平分线上的交点，易证得△PBC是直角三角形，然后由勾股定理求得BC的长，再利用三角形的面积公式，求得PM的长．

解答 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∵P是∠B、∠C的平分线上的交点，
∴∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠DCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠DCB）=90°，
∵BP=4+$\sqrt{2}$，CP=4-$\sqrt{2}$，
∴BC=$\sqrt{P{B}^{2}+P{C}^{2}}$=6，
∵PM⊥BC，
∴PM=$\frac{PB•PC}{BC}$=$\frac{7}{3}$．

点评 此题考查了平行四边形的性质以及勾股定理．注意证得△PBC是直角三角形是解此题的关键．