Question

四边形ABCD是圆内接四边形，AC是直径，BD是∠ABC的角平分线，AB+BC=6，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

考点：圆周角定理,勾股定理,等腰直角三角形

专题：

分析：由（AB+BC）²=36，结合勾股定理，且S_△ABC=

1

2

AB•BC，S_△ADC=

1

2

AC•OD=

1

4

AC²，再利用面积和可求得四边形ABCD的面积．

解答：解：
∵AC为直径，
∴∠ADC=90°，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
∴AO=OD=

1

2

AC，且OD⊥AC，
∴S_△ACD=

1

2

AC•OD=

1

4

AC²，
∵AB+BC=6，
∴（AB+BC）²=36，
即AB²+BC²+2AB•BC=36，
又AB²+BC²=AC²，
∴AC²+2AB•BC=36，
∴

1

4

AC²+

1

2

AB•BC=9，
即S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD=9．

点评：本题主要考查圆周角定理及勾股定理的应用，由条件利用AB+BC转化成两三角形的面积是解题的关键．