Question

【题目】对于二次函数y=x2﹣2mx﹣3，有下列说法：

①它的图象与x轴有两个公共点；

②如果当x≤1时y随x的增大而减小，则m=1；

③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=﹣1；

④如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，则当x=2012时的函数值为﹣3．

其中正确的说法是_____．（把你认为正确说法的序号都填上）

Answer 1

【答案】①④

【解析】

①根据函数与方程的关系解答；②找到二次函数的对称轴，再判断函数的增减性；③将m=-1代入解析式，求出和x轴的交点坐标，即可判断；④根据坐标的对称性，求出m的值，得到函数解析式，将m=2012代入解析式即可．

①∵△=4m2-4×（-3）=4m2+12＞0，∴它的图象与x轴有两个公共点，故①正确；

②∵当x≤1时y随x的增大而减小，函数的对称轴x=-≥1，

∴在直线x=1的右侧（包括与直线x=1重合），

则-≥1，即m≥1，故②错误；

③将m=-1代入解析式，得y=x2+2x-3，当y=0时，得x2+2x-3=0，即（x-1）（x+3）=0，

解得，x1=1，x2=-3，将图象向左平移3个单位后不过原点，故③错误；

④∵当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，

∴对称轴为x==1006，

则-=1006，m=1006，

原函数可化为y=x2-2012x-3，当x=2012时，y=20122-2012×2012-3=-3，故④正确，

故答案为：①④.