Question

点P为抛物线y=x²-2mx+m²（m为常数，m＞0）上任一点，将抛物线绕顶点G逆时针旋转90°后得到的新图象与y轴交于A、B两点（点A在点B的上方），点Q为点P旋转后的对应点．

（1）当m=2，点P的横坐标为4时，求Q点的坐标；
（2）设点Q（a，b），用含m、b的代数式表示a；
（3）如图2，若原抛物线恰好也经过A点，点Q在第一象限内，是否存在这样的点P使得AQ=GQ？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：常规题型

分析：（1）根据m=2，即可求得点Q的坐标；
（2）根据抛物线顶点性质可以求得旋转后抛物线解析式，代入Q点可解；
（3）根据AQ=GQ，求得m的值，即可求得P点坐标，即可解题．

解答：解：（1）m=2，抛物线y=x²-2mx+m²=x²-4x+4，
∴顶点为G（2，0），
∵P点横坐标为4，纵坐标为4，
∴P点横纵坐标与顶点G差值为2、4，
∴Q点坐标为（-2，2）；
（2）y=x²-2mx+m²中，y=m时，x=m±

m

，
∴OA=

m

，A点为（0，

m

），B点为（0，-

m

），
将A，B，G点代入x=ay²+c可得，a=-1，b=0，c=m，
∴旋转后抛物线解析式为x=-y²+m，
将点Q（a，b）代入x=-y²+m得，
a=-b²+m，
（3）点Q在第一象限内，AQ=GQ，
∴Q点坐标为（

m

2

，

2

2

m），
则P点坐标为（m+

2

2

m，

m

2

）
将P点代入y=x²-2mx+m²得m=1，
∴存在P点坐标为（1+

2

2

，

1

2

）．

点评：本题考查了旋转的性质，考查了二次函数顶点的运用．