Question

如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标（1，0），OA=OC=3OB，抛物线经过A、B、C三点，记抛物线顶点为点E．
（1）A（

 

）；C（

 

）
（2）求抛物线的解析式及E点坐标；
（3）若点P为线段AC上的一个动点（不与A、C重合），直线PB与抛物线交于点D，连接DA，DC．
①计算△ACE的面积；
②是否存在点D，使得S_△ADC=

1

2

S_△ACE？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在（3）的条件下，当△PBC为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据OA=OC=3OB，可得OA、OC的长度，根据线段的长度，可得点的坐标；
（2）根据待定系数法，可得抛物线的解析式，根据解析式，可得顶点坐标；
（3）①根据角的和差，可得∠ACE的度数，根据三角形的面积公式，可得答案；
②根据等底三角形面积的关系，可得三角形高之间的关系，可得答案；
（4）根据等腰三角形的判定，分类讨论：PB=PC，PB=BC，PC=BC，可得答案．

解答：解：（1）由点B的坐标（1，0），OA=OC=3OB，得
OA=OC=3，．
A（-3，0），C（ 0，-3）；
（2）设抛物线的解析式y=ax²+bx+c，函数图象经过点A、B、C，得

a+b+c=0 c=-3 (-3)2a-3b+c=0

，解得

a=1 b=2 c=-3

，
抛物线的解析式为y=x²+2x-3，
顶点坐标是x=-

b

2a

=-

2

2×1

=-1，y=

4ac-b2

4a

=

4×1×(-3)-22

4×1

=-4，
E（-1，-4）；
（3）①由题意可知∠ACO=45°，CE与y轴的负半轴所成的角也为45°，
∴∠ACE=90°，AC=3

2

，CE=

2

∴S_△ACE=

1

2

AC•CE=

1

2

×3

2

×

2

=2；
②存在存在点D，使得S_△ADC=

1

2

S_△ACE，
D到AC的距离为CE的一半，
设D（x，x²+2x-3），直线AC的解析式为y=-x-3，即y+x+3=0，
D到AC的距离为

|x+x2+2x-3|

12+12

=

2

2

，
解得x₁=

-3+ 5

2

，y₁=x²+2x-3=

-5- 5

2

，
x₂=

-3- 5

2

，y₂=

-5+ 5

2

；
D(

-3+ 5

2

，

-5- 5

2

)，D(

-3- 5

2

，

-5+ 5

2

)；
（4）设P（x，-x-3），BC=

OB2+OC2

=

10

，
①当PB=PC时，

(x-1)2+(-x-3-0)2

=

(x-0)2+(-x-3-3)2

，
化简，得
4x=-13．
解得x=-

13

4

，y=-x-3=

1

4

，p（-

13

4

，

1

4

）；
②当PB=BC时，

(x-1)2+(-x-3)2

=

10

，
化简，得2x²+4x=0．
解得x=-2或x=0（不符合题意的要舍去），y=-x-3=-（-2）-3=-1，P（-2，-1）；
③当PC=BC时，

(x-0)2+(-x-3-3)2

=

10

，
化简，得x²+6x+13=0，△=b²-4ac=6²-4×1×13=-16，方程无实数根；
当△PBC为等腰三角形时，点P的坐标（-

13

4

，

1

4

），（-2，-1）．

点评：本题考查了二次函数综合题，利用了待定系数法求函数解析式，等底三角形的面积与高的关系，等腰三角形的判定，分类讨论是解题关键．