已知:在△ABC中.∠C=90°.BC=AC．.若点D.E分别在BC.AC边上.且CD=CE.连接AD.BE.点O.M.N分别是AB.AD.BE的中点．求证:△OMN是等腰直角三角形,中△CDE绕着点C顺时针旋转90°如图(2).O.M.N分别为AB.AD.BE中点.则(1)中的结论是否成立.并说明理由,.若BC=AC=4.CD=CE=2.将图(1)中△CDE绕着点C顺时针旋转.记旋转角为� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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已知：在△ABC中，∠C=90°，BC=AC．
（1）如图（1），若点D、E分别在BC、AC边上，且CD=CE，连接AD、BE，点O、M、N分别是AB、AD、BE的中点．求证：△OMN是等腰直角三角形；
（2）将图（1）中△CDE绕着点C顺时针旋转90°如图（2），O、M、N分别为AB、AD、BE中点，则（1）中的结论是否成立，并说明理由；
（3）如图（3），若BC=AC=4，CD=CE=2，将图（1）中△CDE绕着点C顺时针旋转，记旋转角为α（0°＜a＜360°），O、M、N分别为AB、AD、BE中点，求在整个旋转过程中线段MN的最大值，并写出此时a的度数．

考点：几何变换综合题

专题：

分析：（1）先根据题意得出BD=AE，再由O、M、N分别为AB、AD、BE中点OM∥BD且OM=

BD，ON∥AE且ON=

AE，故可得出∠AOM=∠ABD=45°，∠BON=∠BAE=45°，由三角形内角和定理得出∠MON的度数，进而可得出结论；
（2）连接AE、BD，根据SAS定理得出△BCD≌△ACE，由全等三角形的性质得出BD=AE，∠CBD=∠CAE，根据O、M、N分别为AB、AD、BE中点，可知OM∥BD且OM=

BD，ON∥AE且ON=

AE，由三角形内角和定理即可得出结论；
（3）连接AE、BD，由（2）同理可证△OMN为等腰直角三角形．故MN=

OM．再由OM=

BD可知MN=

BD，所以当BD最大时线段MN最大，显然，当△CDE绕着点C顺时针旋转180°，即α=180°时，BD最大，由此可得出MN的长．

解答：

解：（1）∵BC=AC，CD=CE，
∴BD=AE，
∵O、M、N分别为AB、AD、BE中点，
∴OM∥BD且OM=

BD，ON∥AE且ON=

AE，
∴OM=ON，∠AOM=∠ABD=45°，∠BON=∠BAE=45°，
∴∠MON=180°-（∠AOM+∠BON）
=180°-（45°+45°）=90°
∴△OMN是等腰直角三角形．

（2）如图2，连接AE、BD，
∵△CDE顺时针旋转90°，
∴∠ACE=∠ACB=90°，
在△BCD和△ACE中，

BC=AC

∠ACE=∠ACB=90°

CD=CE

，

∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD=AE，∠CBD=∠CAE，
∵O、M、N分别为AB、AD、BE中点，
∴OM∥BD且OM=

BD，ON∥AE且ON=

AE，
∴OM=ON，∠AOM=∠ABD，∠BON=∠BAE，
∴∠MON=180°-（∠AOM+∠BON）=180°-（∠ABD+∠BAE）
=180°-（∠ABD+∠CBD+∠BAC）=180°-（∠ABC+∠BAC），
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠BAC=180°-∠ACB=180°-90°=90°，
∴∠MON=180°-90°=90°，
∴△OMN是等腰直角三角形．

（3）如图，连接AE、BD，由（2）同理可证△OMN为等腰直角三角形．
∴MN=

OM．
又∵OM=

BD，
∴MN=

BD，
∴当BD最大时线段MN最大，显然，当△CDE绕着点C顺时针旋转180°，即α=180°时，
BD_最大=4+2=6，则MN_最大=

×6=3

．

点评：本题考查的是几何变换综合题，熟知等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识是解答此题的关键．

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