Question

已知：如图，点O的坐标为（0，0），点A的坐标为（4

3

，0），点P在第一象限，且cos∠OPA=

1

2

．
（1）求出点P的坐标（一个即可）；
（2）当点P的坐标是多少时，△OPA的面积最大，并求出△OPA面积的最大值（不要求证明）；
（3）当△OPA的面积最大时，求过O、P、A三点的抛物线的解析式．

Answer 1

分析：（1）可作直角三角形OP₁A，且以∠P₁AO为直角，∠P₁OA=30°，那么此时P₁就是符合条件的一个P点，那么根据OA的长，和∠P₁OA的度数来求出P₁点的坐标．
（2）由题意不难得出，P点的集合应该是以OP₁为直径的优弧OA，如果△POA的面积最大，那么P点必为优弧OA的中点，此时△POA为等边三角形，据此可求出△OPA的最大面积．
（3）过P作PH⊥OA，那么可在直角三角形OMH中，先求出HM的长，进而可求出P点的坐标，然后根据O，P，A三点坐标用待定系数法求出抛物线的解析式．

解答：解：（1）如图，作Rt△OP₁A，使∠P₁AO=90°，∠P₁OA=30°，则∠OP₁A=60°，
即点P₁为所求的点，
这时，P₁A=OA•tan30°=4

3

×

3

3

=4
∴点P₁的坐标为（4

3

，4）
或作等边△OPA，则∠OPA=60°
这时，点P的坐标为（2

3

，6）．

（2）点P在第一象限且在以OP₁为直径，以OA为弦的优弧上，
当PO=PA时，△OPA的面积最大，
过P作PH⊥x轴于H，则点P的坐标为（2

3

，6），
这时，S_△OPA=

1

2

|OA|•|PH|=

1

2

×4

3

×6=12

3

．

（3）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
∵抛物线过点O（0，0），A（4

3

，0）P（2

3

，6），
∴

c=0 48a+4 3 b+c=0 12a+2 3 b+c=6

，
解得

a=- 1 2 b=2 3 c=0

，
∴抛物线的解析式为y=-

1

2

x²+2

3

x，
附表点P的坐标还可以为：设P（x，y）．

x	4 3	2 3	3 3	3	…
y	4	6	2+ 13	2+ 13	…

点评：本题考查二次函数解析式的确定、图形的面积求法等知识；
（2）（3）中结合圆的知识来确定出△POA面积最大时P点的位置是解题的关键．