Question

如图，已知△ABC，以BC为直径，O为圆心的半圆交AC于点F，点E为弧CF的中点，连接BE交AC于点M，AD为△ABC的角平分线，且AD⊥BE，垂足为点H．
（1）判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB=3，BC=4，求BE的长．

Answer 1

解：（1）直线AB与⊙O的位置关系是相切，
理由是：连接CE，
∵BC为直径，
∴∠BEC=90°，
∵AD⊥BE，
∴AD∥EC，
∴∠ACE=∠CAD，
∵弧EF=弧CE，
∴∠FCE=∠CBE，
∴∠CAD=∠CBE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
∴∠CBE=∠BAD，
∴∠BAD+∠ABE=90°，
∴∠CBE+∠ABE=90°，
即∠ABC=90°，
又∵AB经过直径的外端，
∴AB是圆O的切线．

（2）∵AB=3，BC=4．由（1）知，△ABC是直角三角形，由勾股定理得：AC=5．
在△ABM中，AD⊥BM于H，AD平分∠BAC，
∴AM=AB=3，
∴CM=2，
∵∠E=∠E，∠ECM=∠EBC，
∴△CME∽△BCE，
∴==，
∴EB=2EC，
在Rt△BEC中，由勾股定理得：BE²+CE²=BC²=16，
∴BE=．
分析：（1）连接CE，推出AD∥CE，得出∠ECM=∠DAC=∠DAB=∠EBC，根据∠AHB=90°推出∠DAB+⊙ABE=90°．代入推出∠ABE+∠EBC=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）求出AC长，求出AM=AB=3，求出CM=2，证△ECM∽△EBC，得出比例式，推出BE=2EC，在△BEC中，根据勾股定理即可求出BE．
点评：本题考查了切线的判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，圆周角定理等知识的应用，主要考查相似综合运用性质进行推理的能力，题目比较典型，综合性比较强，有一定的难度．