Question

3．如图1，已知双曲线${y_1}=\frac{k}{x}（k＞0）$与直线y₂=k'x交于A，B两点，点A在第一象限．试解答下列问题：
（1）若点A的坐标为（4，2），则点B的坐标为（-4，-2）； 当x满足：-3≤x＜0或x≥3时，y₁＞y₂；
（2）过原点O作另一条直线l，交双曲线$y=\frac{k}{x}（k＞0）$于P，Q两点，点P在第一象限，如图2所示．
①四边形APBQ一定是平行四边形；
②若点A的坐标为（3，1），点P的横坐标为1，求四边形APBQ的面积．

Answer 1

分析 （1）由A和B为正比例函数与反比例函数的交点，得到A和B关于原点对称，由A的坐标即可求出B的坐标；由A和B的横坐标及原点的横坐标0，将x轴分为四个范围，分别为：x＜-4，-4＜x＜0，0＜x＜4，x＞4，找出一次函数在反比例函数上方的范围即可；
（2）①由OP=OQ，OA=OB，利用对角线互相平分的四边形为平行四边形可得四边形APBQ一定是平行四边形；
②由A得坐标确定出反比例函数解析式，将P得横坐标x=1代入反比例解析式中，求出P的纵坐标，确定出P的坐标，过P作PN垂直于x轴，过A作AM垂直于x轴，可得出PN，AM，ON，OM的长，进而求出MN的长，根据四边形OPAM的面积-三角形AOM的面积表示出三角形AOP的面积，而四边形OPAM的面积=三角形OPN的面积+梯形AMNP的面积，可求出三角形AOP的面积，在三角形ABP中，由O为AB的中点，根据等底同高得到三角形AOP的面积与三角形BOP的面积相等，同理得到三角形BOQ的面积=三角形AOQ的面积=三角形AOP的面积=三角形BOP的面积，而这四个三角形的面积之和为平行四边形APBQ的面积，即可求出四边形APBQ的面积．

解答 解：（1）由A和B为反比例函数与一次函数的交点，
得到A和B关于原点对称，
∵A（4，2），
∴B（-4，-2）．
由图象可得：当-4≤x＜0或x≥4时，y₁≤y₂．
故答案为：（-4，-2），-4≤x＜0或x≥4；

（2）①∵OP=OQ，OA=OB，
∴四边形APBQ为平行四边形；
②过A作AM⊥x轴，过P作PN⊥x轴，如图所示：
由A（3，1）在反比例函数图象上，得到反比例解析式为y=$\frac{3}{x}$，
∵P的横坐标为1，P在反比例函数图象上，
∴将x=1代入反比例解析式得：y=3，即P（1，3），
∴AM=1，OM=3，PN=3，ON=1，MN=OM-ON=2，
则S_△AOP=S_{四边形OPAM}-S_△AOM=S_△PON+S_梯形AMNP-S_△AOM
=$\frac{1}{2}$PN•ON+$\frac{1}{2}$（AM+PN）•MN-$\frac{1}{2}$AM•OM
=$\frac{1}{2}$×3×1+$\frac{1}{2}$×（1+3）×2-$\frac{1}{2}$×1×3
=4，
在△APB中，O为AB的中点，即AO=BO，
∴S_△AOP=S_△BOP，
同理S_△BOQ=S_△AOQ=S_△AOP=S_△BOP，
又∵S_{平行四边形APBQ}=S_△BOQ+S_△AOQ+S_△AOP+S_△BOP，
∴S_{平行四边形APBQ}=4S_△AOP=16．
故答案为：平行四边形．

点评 此题考查了反比例函数的综合题，涉及的知识有：对称的性质，反比例函数的性质，正比例函数与反比例函数的交点问题，坐标与图形性质，平行四边形的判定与性质，以及三角形、梯形面积的求法，利用了转化及数形结合的思想，其中当正比例函数与反比例函数要有交点，必然有两个，且两点关于原点对称，灵活运用此性质是解本题的关键．