Question

如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD，
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）若AB=21，AD=9，AC=17，求CF的长．

Answer 1

考点：角平分线的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CE=CF，再利用“HL”证明Rt△BCE和Rt△DCF全等即可；
（2）根据全等三角形对应边相等可得BE=DF，再求出△ACE和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AF，然后求出AF，再利用勾股定理列式计算即可得解．

解答：（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=CF，
在Rt△BCE和Rt△DCF中，

BC=CD CE=CF

，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）；

（2）解：∵△BCE≌△DCF，
∴BE=DF，
在△ACE和△ACF中，

AC=AC CE=CF

，
∴△ACE≌△ACF（HL），
∴AE=AF，
∴AF-AD=AB-AE，
∴2AF=AB+AD，
∵AB=21，AD=9，
∴AF=15，
在Rt△ACF中，CF=

AC2-AF2

=

172-152

=8．

点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并二次求出三角形全等是解题的关键．