Question

【题目】如图，在直角坐标系中，点A（0，1），点B（3，0），点C（4，3）．

（1）判断△ABC的形状并说明理由；

（2）在线段OC的右侧，以OC为边作等腰直角△OCD，点D的坐标为　 　．

Answer 1

【答案】（1）△ABC是等腰直角三角形，理由详见解析；（2）（3，﹣4），（7，﹣1），（，﹣）　．

【解析】

（1）结论：△ABC是等腰直角三角形．添加辅助线，构造全等三角形解决问题；

（2）分三种情形画出图形即可解决问题．

解：（1）结论：△ABC是等腰直角三角形．

理由：作CE⊥x轴于E．

∵点A（0，1），点B（3，0），点C（4，3），

∴OA＝BE＝1，OB＝CE＝3，

∵∠AOB＝∠CEB＝90°，

∴△AOB≌△BEC（SAS），

∴BA＝BC，∠ABO＝∠BCE，

∵∠BCE+∠CBE＝90°，

∴∠ABO+∠CBE＝90°，

∴∠ABC＝90°，

∴△ABC是等腰直角三角形．

（2）如图，

由图象可知：

①当OC为腰，点O为直角顶点时，即OC绕点O顺时针旋转90°，由（1）中正三角形全等的方法，可得D1坐标为（3，﹣4）；

②当OC为腰，点C为直角顶点时，即OC绕点C逆时针旋转90°，方法同①，得D3坐标为（7，﹣1；

③当OC是等腰直角三角形的斜边时，因为∠OCD1=∠COD3=45°，所以CD1与OD3的交点即为D2，也是CD1与OD3的中点，可得坐标为（，﹣）．

综上：满足条件的点D的坐标分别为（3，﹣4），（7，﹣1），（，﹣）．

故答案为（3，﹣4），（7，﹣1），（，﹣）．