Question

【题目】如图，在⊙O中，弦AB、CD互相垂直，垂足为E，点M在CD上，连接AM并延长交BC于点F，交圆上于点G，连接AD，AD=AM.

（1）如图1，求证：AG⊥BC；

（2）如图2，连接EF，DG，求证：EF∥DG；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接BG，若∠ABG=2∠BAG，EF=15，AB=32，求BG长.

Answer 1

【答案】（1）AG⊥BC；（2）E、F分别为MD、MG中点，EF∥DG ；（3）BG=18

【解析】

试题

（1）由AB⊥CD于点E可得∠B+∠C=90°；由AD=AM，可得∠CMF=∠AMD=∠D=∠B，由此可得∠CMF+∠C=90°，从而得到∠CFM=90°即可得到AG⊥BC；

（2）如图2，连接CG，由AD=AM，AB⊥CD可得点E是DM的中点；由（1）可知∠CMF=∠B，结合∠B=∠CGA，可得∠CMF=∠CGA，从而可得CM=CG，结合（1）中结论AG⊥BC可得点F是MG的中点，由此可得EF是△MDG的中位线，从而可得结论EF∥DG；

（3）如图3，作∠ABG的平分线交AG于点N，由∠ABG=2∠BAG，结合已知条件可证得∠ABG=∠DAG，从而得到AG=DG=2EF=30；由BN平分∠ABG及∠ABG=2∠BAG可得∠GBN=∠ABN=∠GAB，结合∠AGB=∠BGA可证得△GBN∽GAB，BN=AN，设AN=x、BG=y，根据相似三角形的性质列出比例式即可解得BG的值.

试题解析：

（1）∵AB⊥CD于点E，

∴∠BEC=90°，

∴∠B+∠C=90°.

∵AD=AM，

∴∠AMD=∠D=∠B，

又∵∠CMF=∠AMD，

∴∠CMF=∠B，

∴∠CMF+∠C=90°，

∴∠CFM=90°，

∴AG⊥BC；

（2）如图2，连接CG，

（2）由（1）可知，∠CMF=∠B，

∵∠B=∠CGA，

∴∠CMF=∠G，

∴CM=CG，

又∵AG⊥BC，

∴点F是MG的中点.

∵AD=AM，AB⊥CD，

∴点E是DM的中点，

∴EF是△MDG的中位线，

∴EF∥DG；

（3）∵由（2）可知，EF是△MDG的中位线，EF=15，

∴DG=2EF=30，

∵AD=AM，AB⊥CD，

∴∠DAG=2∠BAG，

又∵∠ABG=2∠BAG，

∴∠ABG=∠DAG，

∴AG=DG=30.

如图3，作BN平分∠ABG，则∠GBN=∠ABN=∠GAB，

∴AN=BN，

∵∠AGB=∠BGA，

∴△GBN∽GAB，

∴，，

设BG=x，AN=BN=y，则GN=AG-AN=30-y，

∴，，两式变形可得：，

解得：（不合题意，舍去），

∴BG=18.