Question

【题目】如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD．

（1）P是上一点（不与C、D重合），求证：∠CPD=∠COB；

（2）点P′在劣弧CD上（不与C、D重合）时，∠CP′D与∠COB有什么数量关系？请证明你的结论．

Answer 1

【答案】（2）∠CP′D+∠COB=180°

【解析】

（1）根据垂径定理知，，得到∠COB=∠DOB=∠COD，由圆周角定理知：∠CPD=∠COD，等量代换即可得到结论；

（2）根据圆内接四边形的对角互补及圆周角定理可以得出结论．

（1）连接OD．

∵AB是直径，AB⊥CD，∴，∴∠COB=∠DOB=∠COD．

又∵∠CPD=∠COD，∴∠CPD=∠COB．

（2）∠CP′D+∠COB=180°．理由如下：

连接OD．

∵∠CPD+∠CP′D=180°，∠COB=∠DOB=∠COD．

又∵∠CPD=∠COD，∴∠COB=∠CPD，∴∠CP′D+∠COB=180°．