Question

【题目】已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点B（14，0）和C（0，﹣8），对称轴为x=4．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）点D在线段AB上且AD=AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点N以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PN被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点N的运动速度；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的结论下，直线x=1上是否存在点M使△MPN为等腰三角形？若存在，请直接写出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线过C（0，﹣8），

∴c=﹣8，即y=ax2+bx﹣8，

由函数经过点（14，0）及对称轴为x=4可得 ，

解得： ，

∴该抛物线的解析式为y= x2﹣ x﹣8

（2）

解：存在直线CD垂直平分PN．

由函数解析式为y= x2﹣ x﹣8，可求出点A坐标为（﹣6，0），

在Rt△AOC中，AC= = =10=AD，

故可得OD=AD﹣OA=4，点D在函数的对称轴上，

∵线CD垂直平分PN，

∴∠PDC=∠NDC，PD=DN，

由AD=AC可得，∠PDC=∠ACD，

∴∠NDC=∠ACD，

∴DN//AC，

又∵DB=AB﹣AD=20﹣10=10=AD，

∴点D是AB中点，

∴DN为△ABC的中位线，

∴DN= AC=5，

∴AP=AD﹣PD=AD﹣DN=10﹣5=5，

∴t=5÷1=5（秒），

∴存在t=5（秒）时，线段PN被直线CD垂直平分．

在Rt△BOC中，BC= = =2 ，

而DN为△ABC的中位线，N是BC中点，

∴CN= ，

∴点N的运动速度为每秒 单位长度

（3）

解：存在，过点N作NH⊥x轴于H，则NH= OC=4，

PH=OP+OH=1+7=8，

在Rt△PNH中，PN= = =4 ，

①当MP=MN，即M为顶点，则此时CD与PN的交点即是M点（上面已经证明CD垂直平分PN），

设直线CD的直线方程为：y=kx+b（k≠0），

因为点C（0，﹣8），点D（4，0），

所以可得直线CD的解析式为：y=2x﹣8，

当x=1时，y=﹣6，

∴M1（1，﹣6）；

②当PN为等腰△MPN的腰时，且P为顶点．

设直线x=1上存在点M（1，y），因为点P坐标为（﹣1，0），

从而可得PM2=22+y2，

又PN2=80，

则22+y2=80，

即y=±2 ，

∴M2（1，2 ），M3（1，﹣2 ）；

③当PN为等腰△MPN的腰时，且N为顶点，点N坐标为（7，﹣4），

设直线x=1存在点M（1，y），

则NM2=62+（y+4）2=80，

解得：y=2 ﹣4或﹣2 ﹣4；

∴M4（1，﹣4+2 ），M5（1，﹣4﹣2 ）．

综上所述：存在这样的五点：M1（1，﹣6），M2（1，2 ），M3（1，﹣2 ），M4（1，﹣4+2 ），M5（1，﹣4﹣2 ）．

【解析】（1）由题意抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点B（14，0）和C（0，﹣8），对称轴为x=4，根据待定系数法可以求得该抛物线的解析式；（2）假设存在，设出时间t，则根据线段PN被直线CD垂直平分，再由垂直平分线的性质及勾股定理来求解t，看t是否存在；（3）假设直线x=1上是存在点M，使△MPN为等腰三角形，此时要分两种情况讨论：①当PN为等腰△MPN的腰时，且P为顶点；②当PN为等腰△MPN的腰时，且Q为顶点；然后再根据等腰三角形的性质及直角三角形的勾股定理求出M点坐标．