Question

【题目】如图，在△AOB中，∠AOB为直角，OA=6，OB=8，半径为2的动圆圆心Q从点O出发，沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点A出发，沿着AB方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动．设运动时间为t秒（0＜t≤5）以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连结CD、QC．
（1）当t为何值时，点Q与点D重合？
（2）当⊙Q经过点A时，求⊙P被OB截得的弦长．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵OA=6，OB=8，

∴由勾股定理可得：AB=10，

由题意知：OQ=t=AP=t，AC=2t，

∵AC是⊙P的直径，

∴∠CDA=90°，

∴CD//OB，

∴△ACD∽△ABO，

∴ = ，即 = ，

∴AD= t，

∵D与Q重合，

∴ t+t=6，

解得t=

（2）解：如图，过点P作PE⊥OB于点E，⊙P与OB相交于点F、G，连接PF，

当⊙Q经过A点时，OQ=OA﹣QA=4，

∴t= =4s，

∴PA=4，

∴BP=AB﹣PA=6，

∵∠PEB=∠O=90°，

∴PE//OA，

∴△PEB∽△AOB，

∴ = ，即 = ，

∴PE= ，

∵PF=PA=4，

∴Rt△PEF中，由勾股定理可得EF= = ，

由垂径定理可求知：FG=2EF= ，

故⊙P被OB截得的弦长为

【解析】（1）由题意知CD⊥OA，所以△ACD∽△ABO，利用对应边的比求出AD的长度，若Q与D重合时，则，AD+OQ=OA，列出方程即可求出t的值；（2）由于0＜t≤5，当Q经过A点时，OQ=4，此时用时为4s，过点P作PE⊥OB于点E，利用垂径定理即可求出⊙P被OB截得的弦长．
【考点精析】本题主要考查了勾股定理的概念和垂径定理的相关知识点，需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧才能正确解答此题．