Question

5．等腰梯形的中位线长为10，一条对角线平分一个60°的底角，则该等腰梯形的周长是$\frac{100}{3}$．

Answer 1

分析 过点D作DG∥AB交BC于点G，得到一个菱形和一个等边三角形，由已知可推出下底是上底的二倍，根据梯形中位线定理可求得上，下底的长，从而不难求得其周长．

解答 解：如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，中位线EF=10，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，
方法一：过点D作DG∥AB交BC于点G．
∵∠ABC=60°，BD平分∠ABC，AD∥BC，
∴∠ABD=∠DBC=∠ADB=30°，
∴AD=AB=DC，
∵AD∥BC，AB∥DG，
∴AD=BG，△DGC为等边三角形，
∴CG=CD，
∴BC=2AD，
∵EF=10，
∴AD+BC=3AD=20，
∴AD=$\frac{20}{3}$，BC=$\frac{40}{3}$，
∴等腰梯形的周长为：$\frac{20}{3}$+$\frac{20}{3}$+$\frac{40}{3}$+$\frac{20}{3}$=$\frac{100}{3}$．

方法二：∵∠BDC=90°，∠C=60°，
∴∠DBC=30°，
∴Rt△BCD中，DC=$\frac{1}{2}$BC，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵∠ABD=∠DBC，
∴AB=AD，
即AD=AB=DC，
∵BC=2DC=2AD，
∴AD+2AD=20，
即AD=$\frac{20}{3}$，
∴等腰梯形的周长为：$\frac{20}{3}$+$\frac{20}{3}$+$\frac{40}{3}$+$\frac{20}{3}$=$\frac{100}{3}$．
故答案为$\frac{100}{3}$．

点评 此题主要考查等腰梯形的性质及梯形中位线定理的运用，注意梯形中常见的辅助线：平移一腰．注意数形结合思想的应用．