已知抛物线抛物线yn=-(x-an)2+an(n为正整数.且0＜a1＜a2＜-＜an)与x轴的交点为An-1(bn-1.0)和An(bn.0).当n=1时.第1条抛物线y1=-(x-a1)2+a1与x轴的交点为A0(0.0)和A1(b1.0).其他依此类推．(1)求a1.b1的值及抛物线y2的解析式,(2)抛物线y3的顶点坐标为(9.9),依此类推第n条抛物线yn的顶点坐� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

9．已知抛物线抛物线y_n=-（x-a_n）²+a_n（n为正整数，且0＜a₁＜a₂＜…＜a_n）与x轴的交点为A_n-1（b_n-1，0）和A_n（b_n，0），当n=1时，第1条抛物线y₁=-（x-a₁）²+a₁与x轴的交点为A₀（0，0）和A₁（b₁，0），其他依此类推．
（1）求a₁，b₁的值及抛物线y₂的解析式；
（2）抛物线y₃的顶点坐标为（9，9）；依此类推第n条抛物线y_n的顶点坐标为（n²，n²）；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系是y=x；
（3）探究下列结论：
若用A_n-1A_n表示第n条抛物线被x轴截得得线段长，直接写出A₀A₁的值，并求出A_n-1A_n．

分析（1）因为点A₀（0，0）在抛物线y₁=-（x-a₁）²+a₁上，可求得a₁=1，则y₁=-（x-1）²+1；令y₁=0，求得A₁（2，0），b₁=2；再由点A₁（2，0）在抛物线y₂=-（x-a₂）²+a₂上，求得a₂=4，y₂=-（x-4）²+4．
（2）求得y₁的顶点坐标（1，1），y₂的顶点坐标（4，4），y₃的顶点坐标（9，9），依此类推，y_n的顶点坐标为（n²，n²）．因为所有抛物线顶点的横坐标等于纵坐标，所以顶点坐标满足的函数关系式是：y=x．
（3）由A₀（0，0），A₁（2，0），求得A₀A₁=2；y_n=-（x-n²）²+n²，令y_n=0，求得A_n-1（n²-n，0），A_n（n²+n，0），所以A_n-1A_n=（n²+n）-（n²-n）=2n．

解答解：（1）∵当n=1时，第1条抛物线y₁=-（x-a₁）²+a₁与x轴的交点为A₀（0，0），
∴0=-（0-a₁）²+a₁，
解得a₁=1或a₁=0．
由已知a₁＞0，
∴a₁=1，
∴y₁=-（x-1）²+1．
令y₁=0，即-（x-1）²+1=0，
解得x=0或x=2，
∴A₁（2，0），b₁=2．
由题意，当n=2时，第2条抛物线y₂=-（x-a₂）²+a₂经过点A₁（2，0），
∴0=-（2-a₂）²+a₂，
解得a₂=1或a₂=4，
∵a₁=1，且已知a₂＞a₁，
∴a₂=4，
∴y₂=-（x-4）²+4．
∴a₁=1，b₁=2，y₂=-（x-4）²+4．

（2）抛物线y₂=-（x-4）²+4，令y₂=0，即-（x-4）²+4=0，
解得x=2或x=6．
∵A₁（2，0），
∴A₂（6，0）．
由题意，当n=3时，第3条抛物线y₃=-（x-a₃）²+a₃经过点A₂（6，0），
∴0=-（6-a₃）²+a₃，
解得a₃=4或a₃=9．
∵a₂=4，且已知a₃＞a₂，
∴a₃=9，
∴y₃=-（x-9）²+9．
∴y₃的顶点坐标为（9，9）．
由y₁的顶点坐标（1，1），y₂的顶点坐标（4，4），y₃的顶点坐标（9，9），
依此类推，y_n的顶点坐标为（n²，n²）．
∵所有抛物线顶点的横坐标等于纵坐标，
∴顶点坐标满足的函数关系式是：y=x．

故答案是：9，9；n²，n²；y=x；

（3）∵A₀（0，0），A₁（2，0），
∴A₀A₁=2．
y_n=-（x-n²）²+n²，令y_n=0，即-（x-n²）²+n²=0，
解得x=n²+n或x=n²-n，
∴A_n-1（n²-n，0），A_n（n²+n，0），
即A_n-1A_n=（n²+n）-（n²-n）=2n．

点评本题考查了二次函数综合题型，考查了二次函数图象上点的坐标特征、顶点坐标、抛物线与x轴的交点坐标、待定系数法、一次函数、解一元二次方程、根与系数关系、勾股定理等知识点．本题涉及考点众多，计算量比较大，有一点的难度．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：初中数学 来源： 题型：选择题

16．现规定：f（x）=8x⁵-12x⁴+6x³．若M（x）=f（x）÷（-2x²），则M（-2）的值为（　　）

A．

-2

B．

-14

C．

D．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

17．如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，MN=$\frac{1}{2}$AD，连接CM交DN于点O．
（1）求证：△ABN≌△CDM；
（2）过点C作CE⊥MN于点E，交DN于点P，若PE=1，∠1=∠2，求BC的长．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：填空题

14．因式分解：（x²-2x）²-11（x²-2x）+24=（x-3）（x+1）（x-4）（x+2）．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

4．

如图，A（5，0），B（3，0），点C在y轴的正半轴上，∠CBO=45°，CD∥AB，∠CDA=90°．点P从点Q（-4，0）出发，沿x轴向右以每秒2个单位长度的速度运动，运动时间t秒．
（1）求点C的坐标；
（2）当∠BCP=15°时，求t的值；
（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

14．