Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为CD上一动点，AE交BD于F，过F作FH⊥AE于H，过H作GH⊥BD于G，下列有四个结论：①AF＝FH，②∠HAE＝45°，③BD＝2FG，④△CEH的周长为定值，其中正确的结论有（　　）
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.①②③④

Answer 1

【答案】D
【解析】

解答：解：①连接FC，延长HF交AD于点L，

∵BD为正方形ABCD的对角线，

∴∠ADB＝∠CDF＝45°．

∵AD＝CD，DF＝DF，

∴△ADF≌△CDF．

∴FC＝AF，∠ECF＝∠DAF．

∵∠ALH＋∠LAF＝90°，

∴∠LHC＋∠DAF＝90°．

∵∠ECF＝∠DAF，

∴∠FHC＝∠FCH，

∴FH＝FC．

∴FH＝AF．

②∵FH⊥AE，FH＝AF，

∴∠HAE＝45°．

③连接AC交BD于点O，可知：BD＝2OA，

∵∠AFO＋∠GFH＝∠GHF＋∠GFH，

∴∠AFO＝∠GHF．

∵AF＝HF，∠AOF＝∠FGH＝90°，

∴△AOF≌△FGH．

∴OA＝GF．

∵BD＝2OA，

∴BD＝2FG．

④延长AD至点M，使AD＝DM，过点C作CI∥HL，则：LI＝HC，

根据△MEC≌△MIC，可得：CE＝IM，

同理，可得：AL＝HE，

∴HE＋HC＋EC＝AL＋LI＋IM＝AM＝8．

∴△CEM的周长为8，为定值．

故（1）（2）（3）（4）结论都正确．

故选D．

分析：①作辅助线，延长HF交AD于点L，连接CF，通过证明△ADF≌△CDF，可得：AF＝CF，故需证明FC＝FH，可证：AF＝FH；

②由FH⊥AE，AF＝FH，可得：∠HAE＝45°；

③作辅助线，连接AC交BD于点O，证BD＝2FG，只需证OA＝GF即可，根据△AOF≌△FGH，可证OA＝GF，故可证BD＝2FG；（4）作辅助线，延长AD至点M，使AD＝DM，过点C作CI∥HL，则IL＝HC，可证AL＝HE，再根据△MEC≌△MIC，可证：CI＝IM，故△CEM的周长为边AM的长，为定值

解答本题要充分利用正方形的特殊性质，在解题过程中要多次利用三角形全等