Question

【题目】如图,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边三角形ACD及等边三角形ABE.已知∠BAC=30°,EF⊥AB,垂足为F,连接DF.求证:

（1）AC=EF;
（2）四边形ADFE是平行四边形.

Answer 1

【答案】
（1）证明:∵在Rt△ABC中,∠BAC=30°,
∴BC= AB.
∵△ABE是等边三角形,EF⊥AB,
∴AB=EB,BF= AB.
∴BC=BF.
在Rt△ACB和Rt△EFB中,
∴Rt△ACB≌Rt△EFB(HL).∴AC=EF.
（2）证明:∵△ADC是等边三角形,∴∠DAC=60°,AC=AD.
∴AD=EF.∵∠BAC=30°,
∴∠DAF=∠DAC+∠BAC=90°.
∴∠DAF=∠AFE.∴AD∥EF.
∴四边形ADFE是平行四边形
【解析】（1）根据30°角所对的的直角边等于斜边的一半证出BC=AB，再根据等边三角形的性质证明BF=AB，得到BC=BF，然后根据直角三角形的全等判定证明Rt△ACB≌Rt△EFB，再根据全等三角形的性质就可证得结论。
（2）根据已知易证AD=EF，再根据等边三角形的性质证明∠DAC=60°及∠DAC=60°，可证得∠DAF=∠AFE=90°，就可证得AD∥EF，然后根据平行四边形的判定即可证得结论。