Question

如图，线段BE上有一点C，以BC、CE为边分别在BE的同侧作等边三角形ABC、DCE，连结AE、BD，分别交CD、CA于Q、P．
（1）找出图中的一组相等的线段（等边三角形的边长相等除外），并说明你的理由．
（2）取AE的中点M、BD的中点N，连结MN，问△CMN是否是等边三角形？若是请你说明理由；若不是，请给出你的正确结论，不必证明．

Answer 1

解：（1）BD=AE．
理由：等边三角形ABC、DCE中，
∵∠ACB=∠ACD=∠DCE=60°，
∴∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中

∴△BCD≌△ACE（SAS）
∴BD=AE．

（2）等边三角形．
理由：由△BCD≌△ACE，可得∠1=∠2，BD=AE，M是AE的中点、N是BD的中点，
∴DN=EM，又DC=CE，
在△DCN和△ECM中，
，
∴△DCN≌△ECM（SAS），
∴CN=CM，∠NCD=∠MCE，∠MCE+∠DCM=60°，
所以∠NCD+∠DCM=60°，
即∠NCM=60°，
∴△CMN为等边三角形．
分析：（1）利用等边三角形的性质以及全等三角形的判定得出即可；
（2）利用全等三角形的判定与性质得出△DCN≌△ECM，进而得出∠NCM=60°，利用等边三角形的判定得出即可．
点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的判定与性质，根据已知熟练利用等边三角形的性质得出对应边对应角相等是解题关键．