Question

6．函数y=ax+6（其中a，b是整数）的图象与三条抛物线y=x²+3，y=x²+6x+7，y=x²+4x+5分别有2、l、0个交点，则（a，b）=（2，3）．

Answer 1

分析 把直线解析式与抛物线的解析式联立得到关于x的一元二次方程，然后利用根与系数的关系分别列式得到关于a、b的不等式与方程，把方程变形可得4b=-（a²-12a+8），分别代入不等式组成关于a的不等式组，求解得到a的取值范围，再根据a、b是整数求出a、b的值．

解答 解：根据题意得，x²+3=ax+b，x²+6x+7=ax+b，x²+4x+5=ax+b，
∵直线与三条抛物线的交点的个数分别是2，1，0，
∴△₁=a²-4×1×（3-b）=a²+4b-12＞0①，
△₂=（6-a）²-4×1×（7-b）=a²-12a+4b+8=0②，
△₃=（4-a）²-4×1×（5-b）=a²-8a+4b-4＜0③，
由②得，4b=-（a²-12a+8）④，
④分别代入①、③得，$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-（{a}^{2}-12a+8）-12＞0}\\{{a}^{2}-8a-4-（{a}^{2}-12a+8）-4＜0}\end{array}\right.$，
整理得 $\left\{\begin{array}{l}{12a＞20}\\{4a＜12}\end{array}\right.$，
解得 $\frac{5}{3}$＜a＜3，
∵a是整数，
∴a=2，
∴4b=-（2²-12×2+8）=12，
解得b=3，
故答案为（2，3）．

点评 本题综合考查了二次函数的性质，根与系数的关系，非负数的性质；根据题意得出三个式子是解题的关键．