Question

已知抛物线y=x²+x+4．
（1）求此抛物线对称轴与横轴交点A的坐标；
（2）设原点为O，在抛物线上任取点P，求三角形OAP的面积的最小值；
（3）若x为整数，在使得y为完全平方数的所有x的值中，设x的最大值为a，最小值为b，次小值为c．（注：一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数．）求a、b、c的值．

Answer 1

分析：（1）先求出抛物线的对称轴，再根据x轴上点的坐标特点即可得出A点坐标；
（2）求出抛物线的顶点坐标，再根据三角形的面积公式解答即可；
（3）设x²+x+4=k²（k为非负整数），则有x²+x+4-k²=0，再由x为整数知其△为完全平方数，根据△的值即可求出p的值，进而可得出a、b、c的值．

解答：解：（1）∵抛物线y=x²+x+4的对称轴为x=-

1

2

，
∴A点坐标为（-

1

2

，0）

（2）当x=-

1

2

时，y=（-

1

2

）²+（-

1

2

）+4=

15

4

，
此函数图象顶点坐标为（-

1

2

，3

3

4

），
当P为顶点时，△OAP的面积最小为

1

2

×

1

2

×

15

4

=

15

16

；

（3）设x²+x+4=k²（k为非负整数），则有x²+x+4-k²=0，
由x为整数知其△为完全平方数（也可以由△的公式直接推出），
即1-4（4-k²）=p²（p为非负整数），
得（2k+p）（2k-p）=15，显然：2k+p＞2k-p，
所以

2k+p=15 2k-p=1

或

2k+p=5 2k-p=3

，解得p=7或p=1，
所以m=

-1+p

2

，得：x₁=3，x₂=-4，x₃=0，x₄=-1，
所以a=3，b=-4，c=-1．

点评：本题考查的是二次函数综合题，熟知二次函数的顶点坐标、三角形的面积公式及完全平方数的相关知识是解答此题的关键．