分析 （1）求出点B坐标，根据OA=2OB，推出点A坐标，把A（4，0）代入直线y=kx+2即可解决问题．
（2）如图1中，设P（m，$\frac{1}{2}$m+1）．分两种情形①当P在AB上方时，根据${S}_{△{P}_{1}AB}$=${S}_{△{P}_{1}BO}$+${S}_{△{P}_{1}OA}$-S△AOB计算即可．②当P在AB下方，与C重合时，满足S△AOB=$\frac{2}{3}$S△APB．
（3）存在，分三种情形讨论即可：①如图2中，作∠AOB的平分线交CD于点M．易知M（2，2），作MN⊥OM交x轴于N，作MN′⊥OA于N′．则△OMN′是等腰直角三角形；△OMN是等腰直角三角形．②如图3中，当点M与D重合时，在x轴上截取ON=OM，ON′=OM=2，此时△MON′是等腰直角三角形，△MON是等腰直角三角形，③如图4中，作OM平分∠BOC交CD于M．易知M（-$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$），作MN⊥x轴于N，作MN′⊥OM交OC于N′．则△OMN′是等腰直角三角形，△OMN是等腰直角三角形．
解答 解：（1）∵直线y=kx+2与y轴分别于B点，
∴B（0，2），
∴OB=2，
∵OA=2OB，
∴OA=4，
∴A（4，0），
把A（4，0）代入直线y=kx+2得到k=-$\frac{1}{2}$，
∴y=-$\frac{1}{2}$x+2．
∴A（4，0），k=-$\frac{1}{2}$．
（2）如图1中，设P（m，$\frac{1}{2}$m+1）．
①当P在AB上方时，
∵${S}_{△{P}_{1}AB}$=${S}_{△{P}_{1}BO}$+${S}_{△{P}_{1}OA}$-S△AOB，
∴$\frac{2}{3}$×[$\frac{1}{2}$×2×m+$\frac{1}{2}$×4×（$\frac{1}{2}$m+1）-$\frac{1}{2}$×4×2]=$\frac{1}{2}$×4×2，
解得m=4，此时点P坐标为（4，3）．
②当P在AB下方，与C重合时，
满足S△AOB=$\frac{2}{3}$S△APB
此时点P坐标（-2，0）．
（3）存在．理由如下：
①如图2中，作∠AOB的平分线交CD于点M．易知M（2，2），作MN⊥OM交x轴于N，作MN′⊥OA于N′．
则△OMN′是等腰直角三角形，M（2，2），N′（2，0）；△OMN是等腰直角三角形，M（2，2），N（4，0）．
②如图3中，当点M与D重合时，在x轴上截取ON=OM，ON′=OM=2，
此时△MON′是等腰直角三角形，此时M（0，1），N′（-1，0）；△MON是等腰直角三角形，此时M（0，1），N（1，0）．
③如图4中，作OM平分∠BOC交CD于M．易知M（-$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$），作MN⊥x轴于N，作MN′⊥OM交OC于N′．
则△OMN′是等腰直角三角形，M（-$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$），N′（-$\frac{4}{3}$，0）；△OMN是等腰直角三角形，M（-$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$），N（-$\frac{2}{3}$，0）．
点评 本题考查一次函数综合题、三角形的面积．等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，需要不能漏解，学会用分割法求三角形的面积，属于中考压轴题．
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一线名师口算应用题天天练一本全系列答案科目：初中数学 来源： 题型：选择题
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如图，在△ABC中，∠A=90°，点D是AB边上的一点，过D点作BC的垂线，垂足为点E，已知：AB=4cm，BC=8cm，CD=7cm，则△DBE的周长为（ ）| A． | 5cm | B． | 6cm | C． | $\frac{9+3\sqrt{3}}{2}$cm | D． | 8cm |
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如图，BD是⊙O的直径，弦AB=AC，∠BAC=120°，已知AB=2，则AD=2$\sqrt{3}$．