Question

如图1，点A、B、P分别在两坐标轴上，∠APB=60°，PB=m，PA=2m，以点P为圆心、PB为半径作⊙P，作∠OBP的平分线分别交⊙P、OP于C、D，连接AC．
（1）求证：直线AB是⊙P的切线．
（2）设△ACD的面积为S，求S关于m的函数关系式．
（3）如图2，当m=2时，把点C向右平移一个单位得到点T，过O、T两点作⊙Q交x轴、y轴于E、F两点，若M、N分别为两弧、的中点，作MG⊥EF，NH⊥EF，垂足为G、H，试求MG+NH的值．

Answer 1

解：（1）∵∠POB=90°，∠APB=60°，
∴PB=m，
∴PO=PB=m，OB=，
又∵PA=2m，
∴OA=，
在RT△OAB中，AB=
∴PA²+AB²=PA²
∴∠ABP=90°，
∵PB是⊙P的半径，
∴直线AB是⊙P的切线．

（2）连接PC，
∵∠APB=90°-∠OBP=∠OBA，∠OBC=∠PBC，
∴∠ADB=∠PBC+∠PBC=∠ABD
∴AD=AB=m，
又∵PB=PC=m，
∴PC∥OC
∴∠CPA=∠POB=90°，
∴S△ACD=AD×CP=×m×m=m²；

（3）作TJ⊥x轴，TK⊥y轴，连接ET、FT，
当m=2时，PO=m，由（2）知∠CPA=90°，
∴C点WEI （1，-2），
∴T为（2，-2，）TJ=TK=2，
∴点T在∠EOF的平分线上，
∴
∴TE=TF，
∴△ETJ≌△FTK，
∴EF=FK，
∴OE+OF=OJ-EJ+OK+FK=OJ+OK=4
延长NH交⊙Q于R，连接QN，QR，∵∠EOF=90°，
∴EF为⊙Q的直径，∴=
∴
∴NR=OF
∴NH=NR=OF
同理MG=
∴MG+NH=（OE+OF）=×4=2
分析：（1）根据切线的判定定理证得∠ABP=90°后即可判定切线；
（2）连接PC，根据∠APB=90°-∠OBP=∠OBA，∠OBC=∠PBC，得到∠ADB=∠PBC+∠PBC=∠ABD，从而得到∠CPA=∠POB=90°，利用三角形的面积公式得到S=m²；
（3）作TJ⊥x轴，TK⊥y轴，连接ET、FT，得到△ETJ≌△FTK，从而得到NH=NR=OF和MG=，最后求得MG+NH=（OE+OF）=×4=2
点评：本题考查了二次函数的综合知识，难度较大，一般为中考题的压轴题．