Question

如图所示，在△ABC中，BC=40，AB=50，AC=30，D、E、F分别是AC、AB、BC的中点，点P从点D出发沿折线DE-EF-FC-CD以7个单位长度/秒的速度匀速运动；点Q从点B出发沿BA方向以4个单位长度/秒的速度匀速运动，过Q点作射线QKWAB，交折线BC-CA于点G．点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）△ABC的形状是

 

（直接填写结论）；
（2）当点P运动到折线EF-FC上，且点P又恰好落在射线QK上时，求t的值；
（3）射线QK能否把四边形CDEF分成周长相等的两部分？若能，求出t的值；若不能，说明理由．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）由勾股定理可以判定）△ABC的形状是直角三角形．
（2））①当点P在EF上（2

6

7

≤t≤5）时根据△PQE∽△BCA，根据相似三角形的对应边的比相等，可以求出t的值；
②当点P在FC上（5≤t≤7

6

7

）时，PB=PF+BF就可以得到；
（3）连接DF，过点F作FH⊥AB于点H，由四边形CDEF为矩形，QK把矩形CDEF分为周长相等的两部分，根据△HBF∽△CBA，对应边的比相等，就可以求得t的值；

解答：解：（1）∵在△ABC中，BC=40，AB=50，AC=30，
∴AB²=BC²+AC²，
∴△ABC的形状是直角三角形．
（2）①当点P在EF上（2

6

7

≤t≤5）时，
如图1，QB=4t，DE+EP=7t
由△PQE∽△BCA，得

7t-20

50

=

25-4t

30

∴t=4

21

41

．
②当点P在FC上（5≤t≤7

6

7

）时，
如图2，已知QB=4t，从而cosB=

QB

PB

=

4t

PB

=

4

5

∴PB=5t，
由PF=7t-35，BF=20，得5t=7t-35+20．
解得t=

15

2

．
（3）射线QK能把四边形CDEF分成周长相等的两部分．
如图3，连接DF，过点P作PH⊥AB于点H，
∵D，F是AC，BC的中点，
∴DE∥BC，EF∥AC，四边形CDEF为矩形
∴QK过DF的中点O时，QK把矩形CDEF分为周长相等的两部分，
此时QH=OF=12.5．由BF=20，△HBF∽△CBA，得HB=16．
故t=

QH+HB

4

=

12.5+16

4

=

57

8

．

点评：本题主要运用了相似三角形性质，对应边的比相等，正确找出题目中的相似三角形是解题的关键．在本题中还要学会分类讨论的思想的应用．