Question

问题情境：将一副直角三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）按图（1）所示的方式摆放，其中∠ACB=90°，CA=CB，∠FDE=90°，∠E=30°，O是AB的中点，点D与点O重合，DF⊥AC于点M，DE⊥BC于点N．

（1）试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由；
（2）将图（1）中的Rt△DEF沿着射线BA的方向平移至如图（2）的位置，使点D落在BA的延长线上，FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M，BC的延长线与DE垂直相交于点N，连结OM、ON．试判断线段OM、ON的数量关系与位置关系，并写出证明过程．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据等腰三角形的性质，可得两底角相等，根据线段中点的性质，可得OA=OB，根据AAS，可得两个三角形全等，根据全等三角形的性质，可得结果；
（2）根据四个角是直角的四边形是矩形，可得四边形DMCN是矩形，根据矩形的性质，可得对边相等，根据等腰三角形的判定，可得DM与AM的关系，根据根据SAS，可得三角形全等，根据全等三角形的性质，可得对应边相等，对应角相等，根据同角的余角相等，可得答案．

解答：证明：（1）∵CA=CB，
∴∠A=∠B，
∵O是AB的中点，
∴OA=OB．
∵DF⊥AC，DE⊥BC，
∴∠AMO=∠BNO=90°，
在△OMA和△ONB中，

∠A=∠B ∠ANO=∠BNO AO=BO

，
∴△OMA≌△ONB（AAS），
∴OM=ON．
（2）解：OM=ON，OM⊥ON．
理由如下：连结OC，
∵BN⊥DE，FM⊥CM，CM⊥BN，
∴四边形DMCN是矩形，
∴CN=DM，
∵∠DAM=∠CAB=45°，∠DMA=90°，
∴DM=MA，
∴CN=MA
∵∠ACB=90°，O为AB中点，
∴CO=

1

2

AB=AO，∠BCO=45°，CO⊥AB，
∴∠NCO=∠MAO=135°，
在△NOC和△MOA，
中

NC=MA ∠NCO=∠MAO OC=OA

，
∴△NOC≌△MOA（SAS），
∴OM=ON，∠AOM=∠NOC，
∵∠NOC+∠AON=90°，
∴∠AOM+∠AON=90°，
∴∠MON=90°，
即OM⊥ON．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，（1）由SAS证明三角形全等，再由全等三角形的性质，得出答案；（2）先证明矩形，再由SAS证明三角形全等，证明全等三角形的对应边相等、对应角相等，同角的余角相等．