Question

16．如图，点E、F分别在正方形ABCD的边CD与BC上，∠EAF=45°．
（1）求证：EF=DE+BF；
（2）作AP⊥EF于点P，若AD=10，求AP的长．

Answer 1

分析 （1）延长CB到G，使BG=DE，连接AG，证明△ABG≌△ADE，即可证得AG=AE，∠DAE=∠BAG，再证明△AFG≌△AFE，根据全等三角形的对应边相等即可证得；
（2）证明△ABF≌△APF，根据全等三角形的对应边相等即可证得AP=AB=AD，即可求解．

解答 解：（1）延长CB到G，使BG=DE，连接AG．
∵△ABG和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠D=∠ABG}\\{DE=BG}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△ADE，
∴AG=AE，∠DAE=∠BAG，
又∵∠EAF=45°，∠DAB=90°，
∴∠DAE+∠BAF=45°，
∴∠GAF=∠EAF=45°．
∴△AFG和△AFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠GAF=∠EAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AFG≌△AFE，
∴GF=EF=BG+BF，
又∵DE=BG，
∴EF=DE+BF；
（2）∵AFG≌△AFE，
∴∠AFB=∠AFP，
又∵AP⊥EF，
∴∠ABF=∠APF，
∴△ABF和△APF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AFB=∠AFP}\\{∠APF=∠ABF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△APF，
∴AP=AB=AD=AD=10．

点评 本题考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造全等的三角形是关键．