【题目】已知点A在x轴负半轴上,点B在y轴正半轴上,线段OB的长是方程x2﹣2x﹣8=0的解,tan∠BAO=.
(1)求点A的坐标;
(2)点E在y轴负半轴上,直线EC⊥AB,交线段AB于点C,交x轴于点D,S△DOE=16.若反比例函数y=的图象经过点C,求k的值;
(3)在(2)条件下,点M是DO中点,点N,P,Q在直线BD或y轴上,是否存在点P,使四边形MNPQ是矩形?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(-8,0)(2)k=- (3)(﹣1,3)或(0,2)或(0,6)或(2,6)
【解析】
(1)解方程求出OB的长,解直角三角形求出OA即可解决问题;
(2)求出直线DE、AB的解析式,构建方程组求出点C坐标即可;
(3)分四种情形分别求解即可解决问题;
(1)∵线段OB的长是方程x2﹣2x﹣8=0的解,
∴OB=4,
在Rt△AOB中,tan∠BAO=,
∴OA=8,
∴A(﹣8,0).
(2)∵EC⊥AB,
∴∠ACD=∠AOB=∠DOE=90°,
∴∠OAB+∠ADC=90°,∠DEO+∠ODE=90°,
∵∠ADC=∠ODE,
∴∠OAB=∠DEO,
∴△AOB∽△EOD,
∴,
∴OE:OD=OA:OB=2,设OD=m,则OE=2m,
∵m2m=16,
∴m=4或﹣4(舍弃),
∴D(﹣4,0),E(0,﹣8),
∴直线DE的解析式为y=﹣2x﹣8,
∵A(﹣8,0),B(0,4),
∴直线AB的解析式为y=x+4,
由 ,解得 ,
∴C(,),
∵若反比例函数y=的图象经过点C,
∴k=﹣.
(3)如图1中,当四边形MNPQ是矩形时,∵OD=OB=4,
∴∠OBD=∠ODB=45°,
∴∠PNB=∠ONM=45°,
∴OM=DM=ON=2,
∴BN=2,PB=PN=,
∴P(﹣1,3).
如图2中,当四边形MNPQ是矩形时(点N与原点重合),易证△DMQ是等腰直角三角形,OP=MQ=DM=2,P(0,2);
如图3中,当四边形MNPQ是矩形时,设PM交BD于R,易知R(﹣1,3),可得P(0,6)
如图4中,当四边形MNPQ是矩形时,设PM交y轴于R,易知PR=MR,可得P(2,6).
综上所述,满足条件的点P坐标为(﹣1,3)或(0,2)或(0,6)或(2,6);
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【题目】怡然美食店的A、B两种菜品,每份成本均为14元,售价分别为20元、18元,这两种菜品每天的营业额共为1120元,总利润为280元.
(1)该店每天卖出这两种菜品共多少份?
(2)该店为了增加利润,准备降低A种菜品的售价,同时提高B种菜品的售价,售卖时发现,A种菜品售价每降0.5元可多卖1份;B种菜品售价每提高0.5元就少卖1份,如果这两种菜品每天销售总份数不变,那么这两种菜品一天的总利润最多是多少?
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【题目】(2017浙江省温州市)如图,矩形OABC的边OA,OC分别在x轴、y轴上,点B在第一象限,点D在边BC上,且∠AOD=30°,四边形OA′B′D与四边形OABD关于直线OD对称(点A′和A,B′和B分别对应).若AB=1,反比例函数(k≠0)的图象恰好经过点A′,B,则k的值为______.
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【题目】如图,△ABC中,下面说法正确的个数是( )个.
①若O是△ABC的外心,∠A=50°,则∠BOC=100°;
②若O是△ABC的内心,∠A=50°,则∠BOC=115°;
③若BC=6,AB+AC=10,则△ABC的面积的最大值是12;
④△ABC的面积是12,周长是16,则其内切圆的半径是1.
A. 1B. 2C. 3D. 4
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【题目】如图,在直角坐标系中有菱形OABC,A点的坐标为(10,0),对角线OB、AC相交于点D,双曲线y=(x>0)经过点D,交BC的延长线于点E,且OBAC=160,则点E的坐标为_____.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点P(1,2.5)、Q(m,n)在函数y=(x>0)的图象上,当m>1时,过点P分别作x轴、y轴的垂线,垂足为点A,B;过点Q分别作x轴、y轴的垂线,垂足为点C、D.QD交PA于点E,随着m的增大,四边形ACQE的面积( )
A. 增大B. 先增大后减小
C. 先减小后增大D. 减小
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【题目】随着正定旅游业的快速发展,外来游客对住宿的需求明显增大,某宾馆拥有的床位数不断增加.
(1)该宾馆床位数从2016年底的200个增长到2018年底的288个,求该宾馆这两年(从2016年底到2018年底)拥有的床位数的年平均增长率;
(2)根据市场表现发现每床每日收费40元,288张床可全部租出,若每床每日收费提高10元,则租出床位减少20张.若想平均每天获利14880元,同时又减轻游客的经济负担每张床位应定价多少元?
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【题目】如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,D是AB边的中点,P是BC边上一动点(点P不与B、C重合),若以D、C、P为顶点的三角形与△ABC相似,则线段PC=______.
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【题目】如图,已知反比例函数y=(k≠0)的图象经过点A(﹣2,m),过点A作AB⊥x轴于点B,且△AOB的面积为4.
(Ⅰ)求k和m的值;
(Ⅱ)设C(x,y)是该反比例函数图象上一点,当1≤x≤4时,求函数值y的取值范围.
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