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【题目】如图1,点O在线段AB上,AO=2,OB=1,OC为射线,且∠BOC=60,动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发,沿射线OC做匀速运动,设运动时间为t秒.

(1)当t 时,则OP SABP

(2)当ABP是直角三角形时,求t的值;

(3)如图2,当APAB时,过点AAQBP,并使得∠QOP=∠B,求证:AQ·BP=3.

【答案】(1)1, ;(2)1或;(3)证明见解析.

【解析】试题分析:(1如答图1所示,作辅助线,利用三角函数或勾股定理求解;

2)当ABP是直角三角形时,有三种情形,需要分类讨论;

3如答图4所示,作辅助线,构造一对相似三角形OAQ∽△PBO,利用相似关系证明结论.

试题解析:(11

2①∵∠ABOC60∴∠A不可能是直角

②当∠ABP90

∵∠BOC60∴∠OPB30

OP2OB,即2t2

t1

③当∠APB90

PDAB,垂足为D,则∠ADPPDB90

OP2tODtPDtAD2tBD1tBOP是锐角三角形)

AP 2( 2t )23t 2BP 2( 1t )23t 2

AP 2BP 2AB 2( 2t )23t 2( 1t )23t 29

4t 2t20,解得t1

解得t1t2(舍去)

综上,当ABP是直角三角形时,t1

3

连接PQ,设APOQ相交于点E

AQBP∴∠QAPAPB

APAB∴∠APBB

∴∠QAPB

又∵∠QOPB∴∠QAPQOP

∵∠QEAPEO∴△QEA∽△PEO

又∵∠PEQOEA∴△PEQ∽△OEA

∴∠APQAOQ

∵∠AOCAOQQOPBBPO

∴∠AOQBPO

∴∠APQBPO

∴△APQ∽△BPO

AQ·BPAP·BO3×13

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