【题目】如图1,点O在线段AB上,AO=2,OB=1,OC为射线,且∠BOC=60,动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发,沿射线OC做匀速运动,设运动时间为t秒.
(1)当t= 时,则OP= ,S△ABP= ;
(2)当△ABP是直角三角形时,求t的值;
(3)如图2,当AP=AB时,过点A作AQ∥BP,并使得∠QOP=∠B,求证:AQ·BP=3.
【答案】(1)1, ;(2)1或;(3)证明见解析.
【解析】试题分析:(1)如答图1所示,作辅助线,利用三角函数或勾股定理求解;
(2)当△ABP是直角三角形时,有三种情形,需要分类讨论;
(3)如答图4所示,作辅助线,构造一对相似三角形△OAQ∽△PBO,利用相似关系证明结论.
试题解析:(1)1,
(2)①∵∠A<∠BOC=60,∴∠A不可能是直角
②当∠ABP=90时
∵∠BOC=60,∴∠OPB=30
∴OP=2OB,即2t=2
∴t=1
③当∠APB=90时
作PD⊥AB,垂足为D,则∠ADP=∠PDB=90
∵OP=2t,∴OD=t,PD=t,AD=2+t,BD=1-t(△BOP是锐角三角形)
∴AP 2=( 2+t )2+3t 2,BP 2=( 1-t )2+3t 2
∵AP 2+BP 2=AB 2,∴( 2+t )2+3t 2+( 1-t )2+3t 2=9
即4t 2+t-2=0,解得t1
解得t1=,t2=(舍去)
综上,当△ABP是直角三角形时,t=1或
(3)
连接PQ,设AP与OQ相交于点E
∵AQ∥BP,∴∠QAP=∠APB
∵AP=AB,∴∠APB=∠B
∴∠QAP=∠B
又∵∠QOP=∠B,∴∠QAP=∠QOP
∵∠QEA=∠PEO,∴△QEA∽△PEO
∴
又∵∠PEQ=∠OEA,∴△PEQ∽△OEA
∴∠APQ=∠AOQ
∵∠AOC=∠AOQ+∠QOP=∠B+∠BPO
∴∠AOQ=∠BPO,
∴∠APQ=∠BPO
∴△APQ∽△BPO,
∴
∴AQ·BP=AP·BO=3×1=3
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【题目】甲、乙两公司为“见义勇为基金会”各捐款60000元,已知乙公司比甲公司人均多捐40元,甲公司的人数比乙公司的人数多20%.
请你根据以上信息,提出一个用分式方程解决的问题,并写出解答过程.
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【题目】如图,四边形ABCD是一个平行四边形,BE⊥CD于点E,BF⊥AD于点F,
(1)请用图中表示的字母表示出平行线AD与BC之间的距离;
(2)若BE=2cm,BF=4cm,求平行线AB与CD之间的距离.
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【题目】为了传承中华优秀传统文化,某校组织了一次八年级350名学生参加的“汉字听写”大赛,赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分.为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况,随机抽取了其中若干名学生的成绩(成绩x取整数,总分100分)作为样本进行整理,得到下列不完整的统计图表:
请根据所给信息,解答下列问题:
(1)a= ,b= ;
(2)请补全频数分布直方图;
(3)这次比赛成绩的中位数会落在 分数段;
(4)若成绩在90分以上(包括90分)的为“优”等,则该年级参加这次比赛的350名学生中成绩“优”等的约有多少人?
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【题目】某商店上月的营业额是a万元,本月比上月增长15%,那么本月的营业额是( )
A.15%(a+1)万元
B.15% a万元
C.(1+15%)a万元
D.(1+15%)2a万元
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【题目】如图,已知射线AB与直线CD交于点O,OF平分∠BOC,OG⊥OF于O,AE∥OF,且∠A=30°.
(1)求∠DOF的度数;
(2)试说明OD平分∠AOG.
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