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【题目】如图,在矩形ABCD中,∠ADC的平分线与AB交于E,点FDE的延长线上,∠BFE=90°,连接AF、CF,CFAB交于G.有以下结论:

①AE=BC

②AF=CF

③BF2=FGFC

④EGAE=BGAB

其中正确的个数是(  )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

【解析】

①只要证明ADE为等腰直角三角形即可

②只要证明AEF≌△CBF(SAS)即可;

③假设BF2=FGFC,则FBG∽△FCB,推出∠FBG=FCB=45°,由∠ACF=45°,推出∠ACB=90°,显然不可能,故③错误,

④由ADF∽△GBF,可得,由EGCD,推出,推出,由AD=AE,EGAE=BGAB,故④正确,

DE平分∠ADC,ADC为直角,

∴∠ADE=×90°=45°,

∴△ADE为等腰直角三角形,

AD=AE,

又∵四边形ABCD矩形,

AD=BC,

AE=BC

②∵∠BFE=90°BFE=AED=45°

∴△BFE为等腰直角三角形,

∴则有EF=BF

又∵∠AEF=DFB+ABF=135°CBF=ABC+ABF=135°

∴∠AEF=CBF

AEFCBF中,AE=BC,AEF=CBF,EF=BF,

∴△AEF≌△CBF(SAS)

AF=CF

③假设BF2=FGFC,则FBG∽△FCB,

∴∠FBG=FCB=45°

∵∠ACF=45°

∴∠ACB=90°,显然不可能,故③错误,

④∵∠BGF=180°-CGB,DAF=90°+EAF=90°+(90°-AGF)=180°-AGF,AGF=BGC,

∴∠DAF=BGF,∵∠ADF=FBG=45°

∴△ADF∽△GBF,

EGCD,

AD=AE,

EGAE=BGAB,故④正确,

故选C.

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A. 1B. 2C. 3D. 4

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班级

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