Question

如图，在中，∠ACB=90°，AC=BC，E为BC边的中点，过点B作BD⊥AB交AE的延长线于点D，CG平分∠ACB交AD于点G，CF⊥AD交AB于F，求证：BF=CG；CF=2DE．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）要证AF=CG，只需证明△BFC≌△ACG即可．
（2）延长CG交AB于H，则CH⊥AB，H平分AB，继而证得CH∥AD，得出DG=BG和△ADE与△CGE全等，从而证得CF=2DE．

解答：证明：（1）∵∠ACB=90°，CG平分∠ACB，
∴∠ACG=∠BCG=45°，
又∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CBF=∠ACG=45°，
∴∠BCF=∠BCG，
∵∠BCF+∠ACF=90°，∠ACF+∠CAG=90°，
∴∠BCF=∠CAG，
在△BFC与△ACG中，

∠BCF=∠CAG BC=AC ∠CBF=∠ACG

，
∴△BFC≌△ACG（ASA），
∴AF=CG；
（2）延长CG交AB于H，

∵CG平分∠ACB，AC=BC，
∴CH⊥AB，CH平分AB，
∵BD⊥AB，
∴BD∥CG，
在△BDE与△CGE中，

∠BED=∠CEG ∠D=∠EGC AE=CE

，
∴△BDE≌△CGE（AAS），
∴DE=GE，
即DG=2DE，
∵AD∥CG，CH平分AB，
∴DG=AG，
∵△BFC≌△ACG，
∴CF=AG，
∴CF=2DE．

点评：本题考查了三角形全等的判定和性质、等腰三角形的性质、平行线的判定及性质，三角形全等是解本题的关键．