Question

16．如图1，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A′处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处．再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处．如图2．
（1）求证：EG=CH；
（2）已知AF=$\sqrt{2}$，求AD和AB的长．

Answer 1

分析 （1）由折叠的性质及矩形的性质可知AE=AD=EG，BC=CH，再根据四边形ABCD是矩形，可得AD=BC，等量代换即可证明EG=CH；
（2）由折叠的性质可知∠ADE=45°，∠FGE=∠A=90°，AF=$\sqrt{2}$，那么DG=$\sqrt{2}$，利用勾股定理求出DF=2，于是可得AD=AF+DF=$\sqrt{2}$+2；再利用AAS证明△AEF≌△BCE，得到AF=BE，于是AB=AE+BE=$\sqrt{2}$+2+$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$+2．

解答 （1）证明：由折叠知AE=AD=EG，BC=CH，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，
∴EG=CH；

（2）解：∵∠ADE=45°，∠FGE=∠A=90°，AF=$\sqrt{2}$，
∴DG=$\sqrt{2}$，DF=2，
∴AD=AF+DF=$\sqrt{2}$+2；
由折叠知∠AEF=∠GEF，∠BEC=∠HEC，
∴∠GEF+∠HEC=90°，∠AEF+∠BEC=90°，
∵∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠BEC=∠AFE，
在△AEF与△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠BEC}\\{∠A=∠B=90°}\\{AE=BC}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△BCE（AAS），
∴AF=BE，
∴AB=AE+BE=$\sqrt{2}$+2+$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$+2．

点评 本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理等知识．