Question

如图，在△ABC中，AB=AC=4cm，∠BAC=90°．动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为ts，四边形APQC的面积为ycm²．
（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（2）①求y与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
②当t为何值时，y取得最小值？最小值为多少？
（3）设PQ的长为xcm，试求y与x的函数关系式．

Answer 1

考点：相似形综合题,二次函数的最值,勾股定理,等腰直角三角形

专题：综合题

分析：（1）由于Rt△PBQ的直角不确定，需分∠BPQ=90°和∠BQP=90°两种情况讨论．由于∠B=45°，因此斜边是直角边的

2

倍，由此建立关于t的等量关系，就可解决问题．
（2）①过P作PH⊥BC，垂足为H，只需用t的代数式表示BQ和PH的长，就可得到y与t的函数关系式，根据条件容易得到t的取值范围；②根据二次函数的最值即可解决问题．
（3）过P作PH⊥BC，垂足为H，在Rt△PHQ中，根据勾股定理得到x与t之间的关系，代入y与t的函数关系式，即可得到y与x的函数关系式．

解答：解：（1）由题可得：∠A=90°，AB=BC=4，∠B=45°，BQ=AP=t，BP=4-t．
①当∠PQB=90°时，如图1，

∵∠B=45°，
∴BQ=PQ．
∴BP=

BQ2+PQ2

=

2

BQ．
∴

2

t=4-t．
解得：t=

4

2 +1

=4

2

-4．
②当∠BPQ=90°时，如图2，

同理可得：BQ=

2

BP，∴

2

(4-t)=t
解得：t=

4 2

2 +1

=8-4

2

．
综上所述；当t为（4

2

-4）秒或（8-4

2

）秒时，△PBQ是直角三角形．

（2）①过P作PH⊥BC，垂足为H，如图3，

在Rt△PHB中，
同理可得：PH=

2

2

（4-t）．
∴S_△BPQ=

1

2

BQ•PH
=

2

4

（4-t）t
=-

2

4

t²+

2

t．
∴y=S_△ABC-S_△BPQ=8-（-

2

4

t²+

2

t）=

2

4

t²-

2

t+8．
由题意可知：0＜t＜4．
∴y与t的函数关系式为y=

2

4

t²-

2

t+8，0＜t＜4．
②y=

2

4

t²-

2

t+8=

2

4

（t-2）²+8-

2

．
∵

2

4

＞0，
∴当t=2时，y取得最小值，最小值是8-

2

． 

（3）如图3，

在Rt△PQH中，
∵PH=

1

2

（4-t），HQ=

1

2

（4-t）-t，PQ=x
∴x²=〔

1

2

（4-t）〕²+〔

1

2

（4-t）-t〕²
化简得：x²=（2+

2

）t²-4（2+

2

）t+16．
∴t²-4t=

x2-16

2+ 2

．
∴y=

2

4

t²-

2

t+8=

2

4

（t²-4t）+8
=

2

4

×

x2-16

2+ 2

+8
=

2 -1

4

（x²-16）+8
=

2 -1

4

x²-4

2

+12．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质、二次函数的最值、勾股定理、解一元一次方程等知识，而第三小题中将t²-4t整体代换是解决该题的关键．