Question

10．如图，在⊙O中，AB为直径，点C，D为圆上两点，连接AC，BC，过点C作AB的垂线，垂足为点F，过点D作⊙O的切线交FC的延长线于点E，连接AD交CF于点G．
（1）求证：EG=ED．
（2）若点F为AO中点，连接CD，求∠CDA的度数．
（3）在（2）条件下，已知EF=15，GD=10，sin∠DAB=$\frac{5}{13}$，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）证明∠OAD=∠ODA，再由∠ODA+∠EDG=90°，∠FGA+∠OAD=∠EGD+∠OAD=90°，根据等角的余角相等可得：∠EGD=∠EDG，则EG=ED；
（2））连接OC先证明∠FCO=30°，可得△AOC是等边三角形，最后利用同弧所对的圆周角相等可是结论；
（3）过E作EM⊥D于M，根据等腰三角形三线合一的性质得：GM=MD=$\frac{1}{2}$GD=5，利用三角形的内角和定理得：∠BAD=∠GEM，由等角的三角函数列式得：AG=$\frac{26}{5}$，利用勾股定理得：AF的长，从而得半径是$\frac{48}{5}$．

解答 证明：（1）连接OD，
∵ED是⊙O的切线，
∴OD⊥ED，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠ODA+∠EDG=90°，∠FGA+∠OAD=∠EGD+∠OAD=90°，
∴∠EGD=∠EDG；
∴EG=ED；
（2）连接OC，
∵F是OA的中点，
∴OF=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$OC，
∵EF⊥AB，
∴△CFO是直角三角形，
∴∠FCO=30°，
∴∠AOC=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠CAB=60°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=30°，
∴∠CDA=∠ABC=30°；
（3）过E作EM⊥GD于M，
∵EG=ED，
∴GM=MD=$\frac{1}{2}$GD=5，
∵∠EGD=∠FGA，∠EMG=∠AFG=90°，
∴∠BAD=∠GEM，
∴sin∠BAD=sin∠GEM=$\frac{5}{13}$=$\frac{FG}{AG}$=$\frac{GM}{EG}$，
∴EG=13，
∴GF=15-13=2，
∴$\frac{2}{AG}=\frac{5}{13}$，
∴AG=$\frac{26}{5}$，
由勾股定理得：AF=$\sqrt{（\frac{26}{5}）^{2}-{2}^{2}}$=$\frac{24}{5}$，
∴OA=2AF=$\frac{48}{5}$，
∴⊙O的半径是$\frac{48}{5}$．

点评 此题是圆的综合题，其中涉及到切线的性质，圆周角定理，等腰三角形三线合一，勾股定理，等边三角形的判定与性质以及三角函数，熟练掌握性质及定理是解决本题的关键．