Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx+3经过点N（2，-5），过点N作x轴的平行线交此抛物线左侧于点M，MN=6．则此抛物线的解析式为

 

；若此抛物线与y轴交于点C，在此抛物线上存在一点Q（x，y），使∠QMN=∠CNM，则点Q的坐标为

 

．

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式,二次函数图象上点的坐标特征

专题：

分析：（1）根据MN平行x轴，MN=6，点N坐标为（2，-5），可得出点M的坐标，然后利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）分两种情况进行讨论，①点Q在MN上方，②点Q在MN下方，然后根据两角相等，利用三角函数建立方程，解出x的值后检验即可得出答案．

解答：解：（1）由题意得，MN平行x轴，MN=6，点N坐标为（2，-5），
故可得点M坐标为（-4，-5），
∵y=ax²+bx+3过点M（-4，-5）、N（2，-5），
∴可得

4a+2b+3=-5 16a-4b+3=-5

，
解得：

a=-1 b=-2

．
故此抛物线的解析式为y=-x²-2x+3．

（2）设存在点Q（x，-x²-2x+3），使得∠QMN=∠CNM，
①若点Q在MN上方，过点Q作QH⊥MN，交MN于点H，
则QH=-x²-2x+3+5，MH=（x+4）、
故

QH

MH

=tan∠CNM=4，即-x²-2x+3+5=4（x+4）、
解得x₁=-2，x₂=-4（舍），
故可得点Q₁（-2，3）；
②若点Q在MN下方，
同理可得Q₂（6，-45）．
综上使∠QMN=∠CNM，点Q的坐标为（-2，3）或（6，-45）．
故答案为y=-x²-2x+3．（-2，3）或（6，-45）．

点评：此题属于二次函数的综合题，涉及了待定系数法求函数解析式及三角函数的知识，注意要分类讨论，不要漏解，要求我们能将所学的知识融会贯通．