Question

9．如图1，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，连接AE，BF，交点为G．若正方形的边长为2．
（1）求证：AE⊥BF；
（2）将△BCF沿BF对折，得到△BPF（如图2），延长FP交BA的延长线于点Q，求AQ的长；
（3）将△ABE绕点A逆时针方向旋转，使边AB正好落在AE上，得到△AHM（如图3），若AM和BF相交于点N，求四边形MNGH的面积．

Answer 1

分析 （1）运用Rt△ABE≌Rt△BCF，再利用角的关系求得∠BGE=90°求证；
（2）△BCF沿BF对折，得到△BPF，利用角的关系证明QF=QB，在Rt△QPB中，利用勾股定理即可解决问题．
（3）先求出正方形的边长，再根据面积比等于相似边长比的平方，求得S_△AGN=$\frac{4}{5}$，再利用S_{四边形GHMN}=S_△AHM-S_△AGN求解．

解答 （1）证明：如图1，

∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，
∴CF=BE，
在Rt△ABE和Rt△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=∠BCF}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），
∠BAE=∠CBF，
又∵∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠CBF+∠BEA=90°，
∴∠BGE=90°，
∴AE⊥BF．

（2）解：如图2，根据题意得，

FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90°
∵CD∥AB，
∴∠CFB=∠ABF，
∴∠ABF=∠PFB，
∴QF=QB，
∵PF=FC=1，PB=BC=2，
在Rt△BPQ中，设QB=x，
∴x²=（x-1）²+2²，
∴x=$\frac{5}{2}$，
∴AQ=BQ-AB=$\frac{5}{2}$-2=$\frac{1}{2}$．

（3）解：∵正方形ABCD的面积为4，
∴边长为2，
∵∠BAE=∠EAM，AE⊥BF，
∴AN=AB=2，
∵∠AHM=90°，
∴GN∥HM，
∴$\frac{{S}_{△AGN}}{{S}_{△AHM}}$=（$\frac{AN}{AM}$ ）²，
∴$\frac{{S}_{△AGN}}{1}$=（ $\frac{2}{\sqrt{5}}$）²，
∴S_△AGN=$\frac{4}{5}$，
∴S_{四边形GHMN}=S_△AHM-S_△AGN=1-$\frac{4}{5}$=$\frac{1}{5}$，
∴四边形GHMN的面积是 $\frac{1}{5}$．

点评 本题考查的是旋转变换、翻折变换、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟知旋转、翻折不变性是解答此题的关键，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．