Question

如图，点C是线段AB上的任意一点（C点不与A、B点重合），分别以AC、BC为边在直线AB的同侧作等边三角形△ACD和等边三角形BCE，AE与CD相交于点M，BD与CE相交于点N．
（1）求证：MN∥AB；
（2）若AB的长为10cm，当点C在线段AB上移动时，是否存在这样的一点C，使线段MN的长度最长？若存在，请确定C点的位置并求出MN的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵△ACD与△BCE是等边三角形，
∴AC=CD，CE=BC，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE与△DCB中，
∵，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴∠CAE=∠BDC，
在△ACM与△DCN中，
∵，
∴△ACM≌△DCN，
∴CM=CN，
又∵∠MCN=180°-60°-60°=60°，
∴△MCN是等边三角形，
∴∠MNC=∠NCB=60°
即MN∥AB；

（2）解：假设符合条件的点C存在，设AC=x，MN=y，
∵MN∥AB，
∴=，
即=，
y=-（x-5）²+2.5（0＜x＜10），
当x=5时，y_max=2.5cm．
分析：（1）由题中条件可得△ACE≌△DCB，进而得出△ACM≌△DCN，即CM=CN，△MCN是等边三角形，即可得出结论；
（2）可先假设其存在，设AC=x，MN=y，进而由平行线分线段成比例即可得出结论．
点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及平行线分线段成比例的性质和二次函数问题，能够将所学知识联系起来，从而熟练求解．