Question

设p，q都是实数，且p＜q．我们规定：满足不等式p≤x≤q的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[p，q]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当p≤x≤q时，有p≤y≤q，我们就称此函数是闭区间[p，q]上的“闭函数”．
（1）反比例函数y=

2014

x

是闭区间[1，2014]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；
（2）若一次函数y=kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式；
（3）若实数c，d满足c＜d，且d＞2，当二次函数y=

1

2

x²-2x是闭区间[c，d]上的“闭函数”时，求c，d的值．

Answer 1

考点：二次函数的性质,一次函数的性质,反比例函数的性质

专题：新定义

分析：（1）根据反比例函数y=

2014

x

的单调区间进行判断；
（2）根据新定义运算法则列出关于系数k、b的方程组

km+b=m  kn+b=n

或

km+b=n   kn+b=m

，通过解该方程组即可求得系数k、b的值；
（3）y=

1

2

x²-2x=

1

2

（x²-4x+4）-2=

1

2

（x-2）²-2，所以该二次函数的图象开口方向向上，最小值是-2，且当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大．由于c＜d，且d＞2，所以分两种情况进行讨论：①c＜2＜d；②c≥2．

解答：解：（1）反比例函数y=

2014

x

是闭区间[1，2014]上的“闭函数”，理由如下：
反比例函数y=

2014

x

在第一象限，y随x的增大而减小，
当x=1时，y=2014；
当x=2014时，y=1，
所以，当1≤x≤2014时，有1≤y≤2014，符合闭函数的定义，故
反比例函数y=

2014

x

是闭区间[1，2014]上的“闭函数”；

（2）分两种情况：k＞0或k＜0．
①当k＞0时，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是y随x的增大而增大，故根据“闭函数”的定义知，

km+b=m  kn+b=n

，
解得

k=1 b=0

．
∴此函数的解析式是y=x；
②当k＜0时，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是y随x的增大而减小，故根据“闭函数”的定义知，

km+b=n   kn+b=m

，
解得

k=-1 b=m+n

．
∴此函数的解析式是y=-x+m+n；

（3）∵y=

1

2

x²-2x=

1

2

（x²-4x+4）-2=

1

2

（x-2）²-2，
∴该二次函数的图象开口方向向上，最小值是-2，且当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大．
①当c＜2＜d时，此时二次函数y=

1

2

x²-2x的最小值是-2=c，根据“闭函数”的定义知，
d=

1

2

c²-2c或d=

1

2

d²-2d；
Ⅰ）当d=

1

2

c²-2c时，由于d=

1

2

×（-2）²-2×（-2）=6＞2，符合题意；
Ⅱ）当d=

1

2

d²-2d时，解得d=0或6，
由于d＞2，
所以d=6；
②当c≥2时，此二次函数y随x的增大而增大，则根据“闭函数”的定义知，

1 2 c2-2c=c 1 2 d2-2d=d

，
解得，

c=6 d=6

，
∵c＜d，
∴

c=6 d=6

不合题意，舍去．
综上所述，c，d的值分别为-2，6．

点评：本题综合考查了二次函数图象的对称性和增减性，一次函数图象的性质以及反比例函数图象的性质．解题的关键是弄清楚“闭函数”的定义．解题时，也要注意“分类讨论”数学思想的应用．