Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标是（8，6），正比例函数y=kx的图象交BC于点D，DE⊥OD，交AB于点E，连结OE．
（1）求证：△OCD∽△DBE；
（2）设CD=x，梯形OCBE的面积为S，求S与x之间的函数关系式；
（3）若梯形OCBE的面积是32，求D点坐标；
（4）当△ODE∽△OCD时，求正比例函数的解析式．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）要证：△OCD∽△DBE，根据DE⊥OD，得到∠COD=∠BDE，根据四边形OACD是矩形，用“AA“可以判定相似；
（2）由△OCD∽△DBE，得到

OC

BD

=

CD

BE

，即：

6

8-x

=

x

BE

，所以BE=

-x2+8x

6

，再结合梯形的面积公式可以求得答案；
（3）由（2）的结论，令S=32，解相关一元二次方程即可得到答案．
（4）当△ODE∽△OCD时，又因为△OCD∽△DBE，所以△ODE∽△OCD∽△DBE，所以∠COD=∠DOE，∠BED=∠DEO，根据角平分线的性质可以确定D点的坐标，继而求得解析式．

解答：解：（1）∵DE⊥OD，所以∠CDO+∠BDE=90°，
又∵∠CDO+∠COD=90°，
∴∠COD=∠BDE，
又∵四边形OABC是矩形，
∴∠OCD=∠DBE=90°，
在△OCD和△DBE中

∠COD=∠BDE ∠OCD=∠DBE

，
∴△OCD∽△DBE；

（2）∵CD=x，点B的坐标是（8，6），
∴BD=8-x，OC=6，
∵△OCD∽△DBE，
所以

OC

BD

=

CD

BE

，即：

6

8-x

=

x

BE

，所以BE=

-x2+8x

6

，
所以S=

(BE+OC)•BC

2

=

-x2+8x 6 +6

2

×8=-

2

3

x2+

16

3

x+24

（3）由梯形OCBE的面积是32，所以-

2

3

x2+

16

3

x+24=32，解得：x₁=2，x₂=6，
∴D点的坐标为：（2，6），（6，6）

（4）当△ODE∽△OCD时，又∵△OCD∽△DBE，
∴△ODE∽△OCD∽△DBE，
∴∠COD=∠DOE，∠BED=∠DEO，过点D做DH⊥OE，垂足为H，
根据角平分线的性质所以DC=DH=DB，所以点D为BC的中点，所以D点的坐标为（4，6），
∴所求的一次函数解析式为y=

3

2

x．

点评：掌握相似三角形的性质和判定，能够熟练运用勾股定理、待定系数法求得函数的解析式是解答本题的关键．在本题中要注意一元二次方程的解法，以及三角形相似对应边的确定．