Question

已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（2

3

，0），点B在第一象限内，等边△OAB的外接圆交y轴的正半轴于点C，过点C作该圆的切线交x轴于点D，连接AC，BC．
（1）直接写出∠ACO的度数；
（2）求证：OC=BC；
（3）求直线CD对应的函数表达式．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）直接根据等边三角形的性质及圆周角定理即可得出结论；
（2）根据直角三角形的性质得出∠CAO=∠CAB=30°，再由等边三角形三线合一的性质得出AC是OB的垂直平分线，根据垂径定理即可得出结论；
（3）根据圆周角定理得出AC是直径，由CD是圆的切线得出CD⊥AC．再根据∠ACO=∠B=60°可知∠DCO=∠CAO=30°．故可得出OC，OD的长，进而得出C、D两点的坐标，利用待定系数法求出直线CD对应的函数表达式即可．

解答：（1）解：∵△OAB是等边三角形，
∴∠ACO=∠ABO=60°；

（2）证明：∵∠AOC=90°，∠ACO=60°，∠OAB=60°，
∴∠CAO=∠CAB=30°．
∴AC是OB的垂直平分线，
∴OC=BC；

（3）解：∵∠AOC=90°，
∴AC是直径．
∵CD是圆的切线，
∴CD⊥AC．
又∵∠ACO=∠B=60°，
∴∠DCO=∠CAO=30°．
∴OC=2，OD=

2 3

3

．
∴C（0，2），D（-

2 3

3

，0）．
设直线CD对应的函数表达式为y=kx+b（b≠0），
∴

- 2 3 3 k+b=0 b=2

，
∴

k= 3 b=2

，
∴直线CD对应的函数表达式为y=

3

x+2．

点评：本题考查的是圆的综合题，涉及到圆周角定理、垂径定理、切线的性质及等边三角形的性质等知识，难度适中．