Question

如图，在菱形ABCD中，AB=2

3

，∠BAD=60°，AC交BD于点O，以点D为圆心的⊙D与边AB相切于点E．
（1）求AC的长；
（2）求证：⊙D与边BC也相切．

Answer 1

考点：切线的判定与性质,菱形的性质

专题：

分析：（1）由菱形的性质得∴∠BAO=30°，∠AOB=90°，AC=2AO，再求得AO的值即可得AC；
（2）连接DE，过点D作DF⊥BC，垂足为点F，由菱形的性质可得BD平分∠ABC，根据角平分线的性质可得DF=DE，得出⊙D与边BC也相切．

解答：（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°
∴∠BAO=30°，∠AOB=90°，AC=2AO
∴AO=AB•cos∠BAO=2

3

×cos30°=3
∴AC=6．

（2）证明：连接DE，过点D作DF⊥BC，垂足为点F

∵四边形ABCD是菱形，∴BD平分∠ABC
∵⊙D与边AB相切于点E，∴DE⊥AB
∵DF⊥BC
∴DF=DE
∴⊙D与边BC也相切．

点评：本题主要考查了菱形的性质、解直角三角形、圆的切线的判定及性质．知识点较多，综合性强，关键是对这些知识的熟练掌握．